Оценка точности функций результатов геодезических измерений

При косвенных измерениях приходиться часто обращаться к соответствующим разделам элементарной математики: к тригонометрическим функциям и преобразованию тригонометрических выражений. Поэтому при данных измерениях возникает задача определения среднеквадратической погрешности функции, вычисляемой по аргументам, которые измеряются с погрешностями.

Формула для вычисления среднеквадратической погрешности функции u=f( x₁, x₂,…,x_N), где x_i — некоррелированные аргументы, среднеквадратические погрешности которых известны, т. е. заданы m_i, имеет вид:

.

Для линейных функций вида и среднеквадратические погрешности равны и соответственно.

При использовании в качестве аргумента угловой величины ω среднеквадратическая погрешность измерения определяется из выражения

,

где ρ - градусная величина радиана.

В случае неравноточных измерений при известных весах аргументов вес функции общего вида u=f( x₁, x₂,…,x_N) определяется из выражения

.

Для линейных функций вида и веса равны и соответственно.

Пример № 1. Вычислить среднеквадратическую погрешность приращения ∆х = S٠соs ω , если S = 490 м; m_S = 0,11 м; ω =144°30,0′ ; m_ω =1,0′.

Решение: Так как функция ∆х = S٠соs ω нелинейная, то для вычисления ее среднеквадратической погрешности применяем формулу с частными производными

,

где ρ′ — градусная величина радиана, выраженная в угловых минутах и равная 3438'.

Найдем выражения для частных производных

,

и подставим их в предыдущее равенство

.

Заменив буквы соответствующими числами, получим

m_Δx = (соs 144⁰30′·0,11)²+(– 490 sin 144⁰ 30′·[1,0/3438] )² = 0,015 м = 15 мм.

Задача № 1. При тригонометрическом нивелировании были получены величины: расстояние, измеренное нитяным дальномером D =…± 0,8 м; угол наклона визирной оси при наведении на верх рейки ω = …± 0,5'; высота прибора i= 1,30 ± 0,02 м, высо­та рейки h_Р = 3,00 ± 0,01 м.

Вычислить превышение и его среднеквадратическую предельную погрешность применительно к исходным данным, приведенным в табл. 6. 1.

Указание: функция для оценки точности имеет вид

.

Таблица 6. 1

Исходные данные для оценки точности функции измеренных величин

Варианты	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
D	180	190	200	210	220	230	240	250	260	270	280	290	300	310
ω	5	10	15	20	25	30	35	40	35	30	25	20	15	10

Пример № 2. Вычислить вес дирекционного угла девятой стороны теодолитного хода, если углы хода измерены с m_ω = 0,5'. Исходный дирекционный угол считать безошибочным.

Функция в соответствии с условием задачи имеет вид

.

Среднеквадратическая погрешность такой функции определяется по формуле

С учетом численного значения m_ω получим .

Обратный вес равен 1/P_ω9 = , откуда P_ω9 = 0,44.

Задача № 2.Определить вес площади прямоугольного треугольника, если катеты равны а = 50 м и b = 80 м измерены с весами Р_a = 2, Р_b = 3.