Математическая обработка результатов неравноточных измерений

Неравноточными называются измерения, дисперсии которых не равны между собой. Для учета неравноточности вводятся так называемые веса измерений.

Веса измерений Р_Вi определяются из выражения

,

где = с — const, постоянная для всех измерений произвольно выбираемая величина, т. е. вес — величина, обратно пропорциональная дисперсии результата измерения . Веса — величины относительные.

В случае когда дисперсии неизвестны, вес вычисляют по приб­лиженной формуле

,

где m_i — среднеквадратическая погрешность i-го измерения, а величи­на μ среднеквадратическая погрешность единицы веса.

При математической обработке неравноточных измерений, одной и той же величины решается последовательно следую­щие задачи:

1) определение наиболее надежного результата измерения, по принципу весового среднего

,

где x_o – приближенное значение для (обычно минимальное значение x_i),

ε_i = x_i - x_o - остаток.

2) вычисление поправок ν_i = x_i - , контроль вычислений с помощью равенства [Р_В٠ ν] = - α ٠[Р_В] (α - ошибка округления при вычислении ) и оценка точности результата, вес которого – единица. Среднеквадратическая погрешность единицы веса определяется по формуле Бесселя

.

3) оценка среднеквадратической погрешности самой погрешности из выражения

.

4) построение доверительного интервала для истинного значения измеряемого параметра А и среднеквадратической ошибки σ по формулам

, ,

где t_β – коэффициент Стьюдента, определяемый по значению доверительной вероятности β и числу степеней свободы r = N – 1(приложение 2),

γ₁ и γ₂ – коэффициенты, определяемые по значению доверительной вероятности β и числу степеней свободы r = N – 1(приложение 3).

Для компактного размещения промежуточных вычислений по приведенным формулам применяется табличная форма.

Для определения весов измерений в зависимости от усло­вия задачи применяются следующие выражения:

, , ,

где L — длина нивелирного хода; N — число углов поворота в теодолитном ходе или чис­ло станций в нивелирном ходе.

Пример № 1. На репер по четырем ходам геометрического нивелирова­ния различной длины L_i передана высота Н_i (табл. 5. 1). Произвести математическую обработку ряда неравноточных измерений.

В данной задаче неравноточность обусловлена различны­ми длинами нивелирных ходов. Веса вычисляют по формуле

.

Так как в качестве приближенного значения обычно используется минимальное значение x_i (в данном случае х₀ =Н₀ = 134,172 м), то примем, что величина с равна длине хода для данной высоты, т. е. с = 8,1 км и среднеквадратическая погрешность единицы веса будет относиться к первому ходу.

Таблица 5. 1

Исходные данные и результаты вычислений

№ ходов	Высоты Hi , м	Длина хода Li, км	Вес	εi, мм	PВ٠ ε, мм	νi , мм	PВ٠ νi , мм	νi2	PВ٠ νi2
1	134,172	8,1	1,00	0	0	- 23	- 23,0	529	529
2	134, 211	4,2	1,93	+ 39	+ 75,3	+ 16	+ 30,9	256	494
3	134, 188	5,3	1,53	+ 16	+ 24,5	- 7	- 10,7	49	75
4	134, 195	6,0	1,35	+ 23	+ 31,0	0	0	0	0
[ ]			5,81		130,8		- 2,8		1098
х0 = 134,172 м		[PВ٠ε]/ [PВ]=130,8 / 5,81= 22,5 мм≈ 23мм
= х0 + [PВ٠ε]/ [PВ] = 134,172 +0,0225=134,1945 м ≈ 134,195 м
α = 23- 22,5 = 0,5 мм				- α ٠[РВ] = 0,5٠5,81 = - 2,905 ≈ - 2,9 мм
Контроль - α ٠[РВ] ≈ [РВ٠ ν]			= 19,1 ≈ 19 мм
7,9 ≈ 8 мм

Для построения доверительного интервала примем доверительную вероятность β = 0,95 и по числу степеней свободы r = N – 1 = 3 из таблицы коэффициентов Стьюдента (приложение 2) находим коэффициент t_β = 4,3, а из таблицы коэффициентов γ₁ и γ₂ (приложение 3) находим значения γ₁ = 0,566 и γ₂ = 3,73. Доверительный интервал для истинного значения измеряемого параметра и среднеквадратической ошибки будет иметь вид

, .

Иногда возникает необходимость определения среднеквадратической погрешности результата измерения по ходу длинной в 1 км. В нашем случае среднеквадратическая погрешность превышения, полученного по ходу в 1 км, равна

≈ 7мм

Задача № 1. Из вариантов индивидуальных контрольных задач (приложение 5) выбрать вариант, соответствующий порядковому номеру в подгруппе. Произвести математическую обработку ряда неравноточных измерений и вычислить среднеквадратическую погрешность превышения по ходу в 1 км.

Если разности двойных измерений d_i = х_i - y_i (i = 1, 2, …, N) получены по неравноточным измерениям Х_i, но попарно равноточным, т. е. (р_хi = р_yi), то обратный вес разности равен

и .

При отсутствии систематических погрешностей среднеквадратическую погрешность единицы веса можно определить из выражения

.

Для среднего значения x_icр= (х_i + y_i)/2 получаем

.

На наличие в d_i постоянной систематической погрешности укажет зна­чительное отклонение от нуля величины

.

В этом случае, рассматривая разности как отклонения от арифметической средины и применяя формулу Бес­селя, получим

.

Критерием наличия постоянной систематической ошибки будет являться невыполнение неравенства

.

Конт­ролем вычислений служит формула [р_В٠ d] = - α [р_В], где α = θ_окр - θ.

Пример № 2. В табл. 5. 2 даны разности результатов нивелирования (разности превышений в мм) между точками при двух положениях нивелира и веса измерений. Выполнить оценку точности.

Так как

,

то принимаем гипотезу об отсутствии систематических ошибок.

Поэтому среднеквадратическая погрешность единицы веса будет равна

≈ 1,7 мм.

Среднеквадратическая погрешность первого среднего значения будет равна

=1,14 мм.

Аналогично находятся среднеквадратические погрешности других средних значений.

Таблица 5. 2

Исходные данные и результаты предварительных вычислений

Номера превышений	Разности d, мм	Веса измерений рВi	рВ٠d	d2	рВ٠d2
1	+ 2,4	1,11	+ 2,664	5,76	6,4
2	- 6,2	0,28	- 1,736	38,44	10,8
3	- 2,2	0,62	- 1,364	4,84	3,0
4	+ 1,3	0,32	+ 0,416	1,69	0,5
5	- 0,6	0,27	- 0,162	0,36	0,1
6	+ 2,1	0,71	+ 1,491	4,41	3,1
7	- 4,0	0,43	- 1,720	16,00	6,9
8	+ 1,4	0,45	+ 0,630	1,96	0,9
9	+ 7,5	0,48	+ 3,600	56,25	27,0
10	- 1,3	0,53	- 0,689	1,69	0,9
		[рВ] = 5,2	[рВ٠ d] = 3,13 мм		[рВ٠ d2] = 59,6
			[|рВ٠ d|]= 14,47 мм

Задача № 2. Из вариантов индивидуальных контрольных задач (приложение 5) выбрать вариант, соответствующий порядковому номеру в подгруппе. Вычислить среднеквадратическую погрешность единицы веса и среднеквадратические погрешности всех средних значений.

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометри­ческому условию (например, сумма внутренних углов треугольни­ка должна быть равна 180⁰), то точность измерений можно опреде­лить по невязкам, получающимся в результате погрешностей из­мерений.

Невязки в сумме превышений нивелирных по­лигонов или в сумме углов теодолитных полигонов являются погрешностями этих сумм. Поэтому для оценки точности из­мерений по невязкам используется формула Гаусса для вычисления среднеквадратической погрешности единицы веса

,

в которой N - число полигонов, а погрешность ∆_i заменяется невязками углов f_βi или превышений f_hi, веса - выражениями 1/n_i или 1/L_i, где n_i — число станции в нивелирном полигоне (ходе) или число углов в теодолитном поли­гоне (ходе); L_i — периметр нивелирного полигона (хода).

Тогда формула для вычисления среднеквадратической погрешности единицы веса принимает вид

или .

Пример № 3. Произвести оценку точности нивелирования по невязкам полигонов, указанным в табл. 5. 3.

Таблица 5. 3

Исходные данные и результаты вычислений

№ полигонов	Невязки fh, мм	Число станций, n	fh2	fh2/n
1	+ 32	72	1024	14,222
2	+ 2	32	4	0,125
3	21	46	441	9,587
4	+ 6	27	36	1,333
5	+ 8	38	64	1,684
6	12	49	144	2,939
7	31	63	961	15,254
8	+ 15	51	225	4,412
			[fh2/n] = 49,6
[fh2/n] / N = 49,6/8=6,2		= 2,5 мм

Пример № 4. Произвести оценку точности измерения углов по невязкам в полигонах, указанным в табл. 5. 4.

Таблица 5. 4

Исходные данные и результаты вычислений

№ полигонов	Число углов в полигонах, n	fβ'	fβ2	fβ2/ n
1	25	- 2,5	6,25	0,25
2	24	+ 4,8	23,04	0,96
3	5	- 0,5	0,25	0,05
4	28	- 2,8	7,84	0,28
5	15	+ 3,0	9,0	0,60
6	28	+ 5,6	31,36	1,12
			[fβ2/ n]= 3,26
[fβ2/ n]/ N=3,26/6 = 0,54		=0,73'

Пример № 5. В табл. 5. 5 приведены невязки в полигонах геометрического нивелирования и периметры полигонов L. Произвести оценку точности измерения превышений.

Таблица 5. 5

Исходные данные и результаты вычислений

№ полигонов	L, км	fh, мм	fh2	fh2/ L
1	6	+ 18	324	54
2	7	- 14	196	28
3	8	+ 24	576	72
4	10	+ 30	900	90
5	17	+ 34	1156	68
			[fh2/ L] =312
[fh2/ L] /5= 62,4			≈ 8 мм

Задача № 3. Из вариантов индивидуальных контрольных задач (приложение 6) выбрать вариант, соответствующий порядковому номеру в подгруппе. Оценить точность измерений углов и превышений по невязкам в полигонах и ходах.

О т ч е т н ы е м а т е р и а л ы

1. Результаты решения задач.

2. Ответы на контрольные вопросы.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 6