1. Основные понятия теории погрешностей

Теория погрешностей измерений рассматривает классифика­цию и свойства погрешностей измерений, методы получения по результатам измерений наиболее близкого результата к точному значению измеряемой величины, а также получение числовых характеристик точности измерений.

В соответствии с этим основными задачами теории погрешнос­тей измерений являются: определение по результатам измерений их среднего значения; оценка точности результатов измерений; оценка точности функций измеренных величин.

Излагаемые в теории погрешностей методы решения этих задач дают возможность предварительно рассчитать точность предстоя­щих геодезических измерений, что необходимо для правильной организации работ (выбора надлежащего прибора, соответствую­щей методики измерения и т. п.). После проведения измерений эти методы позволяют получить более точные значения измерен­ных величин и оценить их точность.

Измерение величины (длины линии, горизонтального и верти­кального углов, превышения, площади и т. п.) — процесс сравне­ния этой величины с другой, однородной ей, принятой за единицу меры. В результате этого процесса находят число, равное отноше­нию измеряемой величины к единице меры, которому придают наименование единицы меры и называют результатом изме­рения.

Существуют понятия: необходимые и избыточные измерения. Если одна и та же величина измерена N раз, то одно из измерений является необходимым, а остальные N — 1 — избыточными.

Избыточные измерения используют для контроля правильно­сти получаемых результатов измерений. Кроме того, они позволя­ют определить более надежное значение искомой величины. При достаточном числе избыточных измерений можно судить о точно­сти произведенных измерений.

Из практики измерений установлено, что при многократных измерениях одной и той же величины мы не получаем одинаковых результатов, как бы тщательно их ни проводили.

Факт колебаний результатов измерений указывает на то, что получаемые результаты не являются точным значением измеряе­мой величины, а несколько отклоняются от него.

Отклонение результата измерения величины от ее точного зна­чения называют погрешностью измерения. Это определение по­грешности измерения можно написать в виде равенства:

Δ = х — А,

где Δ — погрешность измерения; х — результат измерения; А — точное значение величины.

Из сказанного следует, что результаты измерений всегда сопро­вождаются погрешностями. Получить абсолютно точное значение величины невозможно.

Любая погрешность результата измерения — это следствие дей­ствия многих факторов, каждый из которых порождает свою по­грешность. Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называют элементарными. Таким образом, погрешность результа­та измерения является алгебраической суммой элементарных по­грешностей. Все дальнейшее изложение относится как к суммар­ным, так и к элементарным погрешностям.

Погрешности измерений разделяют по двумя признакам: ха­рактеру их действия и источнику происхождения.

По характеру действия различают погрешности: грубые, систе­матические и случайные.

Грубыми называют погрешности, превы­шающие по абсолютному значению некоторый установленный для данных условий измерений предел. Они происходят в боль­шинстве случаев от невнимательности исполнителя.

Для выявления грубых погрешностей проводят избыточные из­мерения тем же прибором или другим, но той же точности. Результаты, содержащие грубые погрешно­сти, бракуют и заменяют новыми, поэтому при дальнейшем изло­жении будем считать, что результаты измерений свободны от гру­бых погрешностей.

Систематическими погрешностями называют такие, которые при многократных измерениях не изменяются, изменяются по ка­кому-то определенному закону или, изменяясь случайным обра­зом, сохраняют знак. В соответствии с этим различают три вида систематических погрешностей: постоянные (в длине линии из-за неточности компарирования ленты), переменные (в направлении при угловых измерениях вследствие изменения с течением време­ни фазы освещенности солнцем визирного цилиндра геодезичес­кого знака) и односторонне действующие (в длине линии из-за вы­хода ленты из створа измеряемой линии).

Переменные систематические погрешности часто являются функциями неслучайного аргумента (функциональные погреш­ности), но бывают и более сложной природы. Односторонне действующие погрешности представляют собой четные функции случайных величин. Функциональные погрешности изучают средствами эле­ментарной математики и анализа бесконечно малых величин, од­носторонне действующие — средствами теории вероятностей и математической статистики.

Погрешности, не зависящие от результатов измерений и в пос­ледовательности появления которых нет никакой закономернос­ти, но в совокупности подчиняющиеся определенному вероятнос­тному закону, называют случайными.

По источнику происхождения различают погрешности прибо­ров, внешние и личные.

Погрешности приборов обусловлены несовершенством конст­рукций приборов или неточной их юстировкой. Например, по­грешность в отсчете по горизонтальному кругу теодолита при на­ведении зрительной трубы на предмет может быть вызвана колли­мационной ошибкой.

Внешние погрешности происходят из-за влияния внешней сре­ды, например погрешность в отсчете по нивелирной рейке из-за влияния рефракции.

Личные погрешности вызваны особенностями наблюдателя. На­пример, замечено, что при работе с планиметром некоторые на­блюдатели преувеличивают отсчет, а другие — преуменьшают.

Некоторые систематические погрешности можно устранить из результатов измерений, применив соответствующие методы изме­рений. Например, при нивелировании из середины исключается погрешность из-за непараллельности визирной оси и оси цилинд­рического уровня. Влияние же некоторых других систематических погрешностей можно значительно ослабить, введя соответствую­щие поправки. Методы борьбы с влиянием систематических по­грешностей изучают в специальных дисциплинах, связанных с проведением измерений.

При дальнейшем изложении теории погрешностей будем счи­тать, что результаты измерений свободны не только от грубых, но и от систематических погрешностей. Лишь в отдельных случаях будет рассмотрена оценка точности результатов измерений, кото­рые содержат систематические погрешности.

Математической основой теории случайных погрешностей из­мерений являются теория вероятностей и математическая стати­стика.

Теория вероятностей — наука, изучающая закономерности мас­совых случайных явлений (событий), происходящих при неизмен­ном основном комплексе условий испытаний (наблюдений, изме­рений) и обладающих статистической устойчивостью.

Случайным называют такое событие, осуществление которого заранее нельзя предвидеть (прогнозировать): оно может произой­ти, но может и не произойти.

Случайные события, происходящие при неизменном основном комплексе условий, в основном обладают определенной статисти­ческой закономерностью, соответствующей данному комплексу условий. В частности, эта закономерность проявляется в устойчи­вости частости событий.

Частостью события называют отношение числа К появления события в ряду результатов испытания к числу всех членов этого ряда N, т. е. р* = К/ N.

Рассматривая несколько рядов результатов испытаний при одном и том же основном комплексе условий, можно заметить, что при переходе от одного ряда к другому частости од­ного и того же события имеют некоторые колебания, но чем больше испытаний в каждом ряду, тем эти колебания меньше, т. е. с увеличением числа испытаний в ряду колебания частостей события затухают и значения частости, стабилизируясь, прибли­жаются к некоторому числу. Это число называют вероятностью события, которая отражает существующую реальность — степень возможности появления события при данном неизменном комп­лексе условий. Чаще всего вероятность обозначают буквой р.

Ввиду устойчивости частости при достаточном большом N p*=p.

По этой причине частость иногда называют эмпирической веро­ятностью.

Рассмотрим еще одно важное для теории погрешностей изме­рений понятие случайной величины. Случайной называют пере­менную величину, появление какого-либо значения которой представляет собою случайное событие.

Различают прерывные (дискретные) и непрерывные случайные ве­личины.

Если представить значения случайной величины как абсциссы точек на оси, то в случае дискретной величины эти точки будут отделены друг от друга, а в случае непрерывной величины они сплошь заполняют некоторый отрезок.

Случайную величину (совокупность всех ее значений) полно­стью характеризует закон ее распределения, представляющий собой выражение связи между значениями случайной величины и соот­ветствующими им вероятностями.

Закон распределения случайной величины называют также за­коном распределения вероятностей, а чаще — распределением случайной величины. Закон распределения может быть выражен в различной форме.

Распределение дискретной случайной величины Х с конечным числом значений обычно представляют в виде таблицы распреде­ления, статистического ряда или гистограммы.

Распределение непрерывной случайной величины задают фун­кцией распределения F{x) = Р(Х< х) или плотностью распределения случайной величины X (плотно­стью вероятности)

,

где F^'{x)- производная от F{x).

Правая часть равенства обозначает вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение меньше произвольного числа х.

Для практических целей часто нет необходимости знать закон рас­пределения случайной величины, а достаточно иметь значения некоторых параметров этого закона (числовых характеристик случайной величины). Такими характеристиками являются матема­тическое ожидание и дисперсия (или среднеквадратическое от­клонение).

Математическим ожиданием случайной величины X называют число М[Х],характеризующее центр распределения ее и определяемое равенством

- для дискретной случайной величины Х,

- для непрерывной случайной величины Х.

Математическое ожидание имеет размерность случайной величины.

Характеристикой рассеяния случайной величины относительно центра распределения является дисперсия, определяемая формулой

.

Дисперсия для дискретной и непрерывной случайных величин вычисляется по формулам

, .

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.

Среднеквадратическое отклонение случайной величины X имеет размерность случайной величины и определяется из выражения

.

На практике, как правило, имеют дело с ограниченным объемом результатов геодезических измерений. В связи с этим при обработке результатов вычисляют не сами , , а их оценки, которыми являются среднее арифметическое и среднеквадратическая погрешность m.

При большом числе испытаний частость приближенно равна вероятности, среднее арифмети­ческое значение стремиться к соответствующему математическому ожиданию , а среднеквадратическая погрешность m – к среднеквадратической ошибке . Это свойство среднего арифметического и среднеквадратической погрешности является одним из выра­жений закона больших чисел и используется при математической обработке результатов геодезических измерений.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 1