Оценка точности результатов геодезических измерений
Для большинства практических задач оценка точности результатов геодезических измерений производится применительно к двум случаям.
Первый случай заключается в том, что известно истинное значение измеряемого параметра или оно получено более высокоточным геодезическим прибором. При оценке точности результатов геодезических измерений в данном случае вычисляется истинное значение погрешности и по формуле Гаусса вычисляется среднеквадратическая погрешность измерения m
,
где
,
,
N – число
результатов в совокупности.
В дальнейшем знаком [ ] обозначается сумма.
Во втором случае, когда истинное значение измеряемого параметра неизвестно, оценка точности результатов геодезических измерений осуществляется на основе определения среднего арифметического значения и вычисления среднеквадратической погрешности измерения m по формуле Бесселя
,
,
где xo – приближенное значение для (обычно минимальное значение xi),
εi = xi - xo - остаток,
νi = xi - - поправка.
В связи со случайным характером среднеквадратической погрешности вычисляется среднеквадратическая погрешность самой погрешности. В общем случае выражение для ее вычисления имеет вид
,
где с – значение систематической погрешности.
В первом случае она может быть оценена из выражения
.
Решение о включении или выключении значения систематической погрешности в расчеты принимается на основе решения неравенства
.
При выполнении неравенства значением систематической погрешности пренебрегают.
Во втором случае значение систематической погрешности учтено в среднем арифметическом значении результатов измерений и среднеквадратическая погрешность самой погрешности вычисляется по формуле
.
Предельная погрешность определяется из выражения ∆пр= τ٠m, где τ — коэффициент, принимающий значения в соответствии вероятностью попадания результата измерения в допустимые пределы.
Для вероятности р = 0,997 коэффициент τ = 3, поэтому следует применять формулу ∆пр == 3٠т.
Пример № 1. Для исследования точности измерения горизонтального угла теодолитом 2Т30П им был измерен угол 8 раз (табл.1.1). Тот же угол был измерен высокоточным теодолитом 2Т2 с результатом 124°18' 02''=124°18, 03'. Приняв этот результат за точное значение угла А, оценить точность результатов геодезических измерений и вычислить предельную погрешность измерения угла исследуемым теодолитом.
При решении задач по математической обработке результатов геодезических измерений промежуточные вычисления удобно осуществлять в табличной форме.
Таблица 1. 1
Исходные данные и результаты предварительных вычислений
№ изм. |
Результаты измерений, xi |
|
|
1 |
124°17,8' |
- 0,23' |
0,05 |
2 |
124°18,4' |
+ 0,37' |
0,14 |
3 |
124°18,5' |
+ 0,47' |
0,22 |
4 |
124°18,0' |
- 0,03' |
0,00 |
5 |
124°17,9' |
- 0,13' |
0,02 |
6 |
124°17,7' |
- 0,33' |
0,11 |
7 |
124°18,1' |
+ 0,07' |
0,00 |
8 |
124°18,0' |
- 0,03' |
0,00 |
|
[∆]=0,16';
|
[∆2]= 0,54 |
|
=1,66'
Решение.
1. Вычисляем истинные погрешности ∆i, сумму погрешностей [∆], сумму модулей погрешностей , сумму квадратов погрешностей [∆2] и заполняем таблицу 1.1.
2. По формуле Гаусса определяем среднеквадратическую погрешность измерения
.
3. Оцениваем необходимость учета систематической погрешности с использованием неравенства
.
Так как неравенство выполняется можно пренебречь систематической погрешностью.
4. Вычисляем среднеквадратическую погрешность самой погрешности с помощью выражения
.
5. Определяем значение предельной погрешности ∆пр= 3٠0,26' = 0,78'.
Пример № 2. Для исследования теодолита им был 8 раз измерен один и тот же угол (табл.1. 2). Оценить точность результатов геодезических измерений и вычислить предельную погрешность измерения угла исследуемым теодолитом.
Таблица 1. 2
Исходные данные и результаты предварительных вычислений
№ изм. |
Результаты измерений, xi |
εi = xi - xo |
νi = xi - |
|
1 |
39°17,1' |
1,6' |
+ 0,8' |
0,64 |
2 |
39°16,7' |
1,2' |
+ 0,4' |
0,16 |
3 |
39°16,6' |
1,1' |
+ 0,3' |
0,09 |
4 |
39°15,5' |
0,0' |
- 0,8' |
0,64 |
5 |
39°16,2' |
0,7' |
- 0,1' |
0,01 |
6 |
39°15,8' |
0,3' |
- 0,5' |
0,25 |
7 |
39°16,3' |
0,8' |
0,0' |
0,0 |
8 |
39°16,2' |
0,7' |
- 0,1' |
0,01 |
xo =39°15,5' |
[ε]=6,4', |
[ |
[ |
|
]=
0
]=1,8
Решение.
1. Выбираем наименьшее значение среди результатов измерений xo, вычисляем остатки εi, их суммы [ε] и среднее арифметическое значение по формуле
=39°15,5'
+0,8'=39°16,3'.
2. Вычисляем поправки νi, суммы поправок [ ] и суммы квадратов поправок [ ] и результаты вычислений заносим в таблицу (табл. 1.2).
3. Для контроля
результатов оценки используем свойство
поправок: [
]=
0 при отсутствии ошибок округления или
[
]
= - α٠
.
4. По формуле Бесселя определяем среднеквадратическую погрешность измерения
.
5. Вычисляем среднеквадратическую погрешность самой погрешности с помощью выражения
.
6. Определяем значение предельной погрешности ∆пр= 3٠0,51' = 1,53'.
Задача № 1. Из вариантов индивидуальных контрольных задач выбрать 1 вариант (приложение 1). В качестве истинного значения принять значение, соответствующее порядковому номеру в журнале. Оценить точность результатов геодезических измерений и вычислить предельную погрешность измерения.
Задача № 2. Из вариантов индивидуальных контрольных задач (приложение 1) выбрать вариант, соответствующий порядковому номеру в подгруппе. Оценить точность результатов геодезических измерений и вычислить предельную погрешность измерения.
О т ч е т н ы е м а т е р и а л ы
1. Результаты решения задач.
2. Ответы на контрольные вопросы.
Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 2