Построение гистограммы и расчет числовых характеристик результатов геодезических измерений

Результаты наблюдений х₁, х₂, х₃,..., х_N случайной величины X называются выборкой из генеральной совокупности (из всех возможных значений случайной величины X).

При большом N выборка оформляется в виде статистического ряда (ряда распределения). При этом весь диапазон измеренных значений делится на интервалы («разряды») и подсчитывается количество значений, приходящееся на каждый разряд. Для каждого разряда вычисляется частость р_i* = К_i / N (в дальнейшем частость р_i* будем обозначать р_i). Статистический ряд имеет следующий вид:

Интервалы	х1, х2	х2, х3	…	хi, хi+1	…	хk, хk+1
Кi	К1	К2	…	Кi	…	Кk
рi	р1	р2	…	рi	…	рk

Число интервалов k выбирается порядка 10—20, а их длины, как правило, одинаковыми и такими, чтобы К_i было не менее 5.

Для определения числа равных интервалов k, на которые следует разбить весь диапазон значений x_i, можно воспользоваться формулой k = log₂N + 1, при этом следует учитывать, что число интервалов должно быть не меньше 8—10 и не больше 40, а N ≥ 50.

Статистический ряд часто оформляется в виде так называемой гистограммы (по оси абсцисс откладываются интервалы и на каждом из интервалов как на основании строится прямоугольник, площадь которого равна р_i).

Высота прямоугольника определяется из выражения

.

Пример № 1. Произведено 500 измерений некоторой величины. Результаты измерений (в сантиметрах) сведены в статистический ряд

Интервалы	-4, -3	-3, -2	-2, -1	-1, 0	0, 1	1, 2	2, 3	3, 4
Кi	6	25	72	133	120	88	46	10
рi	0,012	0,05	0,144	0,266	0,24	0,176	0,092	0,02

Построить гистограмму.

Решение. По оси абсцисс откладываем интервалы и на каждом из интервалов строим прямоугольник высотой h_i = р_i.

Гистограмма для данного случая имеет вид, представленный на рис. 2.1.

Рис. 2. 1. Гистограмма

При небольшом N (меньше 30) значения результатов измерений по интервалам не распределяют, составляют статистическую таблицу распределения, а вместо гистограммы строят статистический многоугольник (полигон) частости.

Статистическая таблица распределения имеет вид:

хi	х1	х2	…	хN
Кi	К1	К2	…	КN

Пример. Построить статистическую таблицу, начертить статистический полигон и оценить числовые характеристики следующих результатов измерений длины мерной лентой (в метрах)

39	41	40	42	41	40	42	44	40	43	42	41	43	39	42
41	42	39	41	37	43	41	38	43	42	41	40	41	38	44
40	39	41	40	42	40	41	42	40	43	38	39	41	41	42

Решение. Для построения статистической таблицы значения результатов измерений располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частость. Статистическая таблица для рассматриваемого примера имеет вид:

хi	37	38	39	40	41	42	43	44
Кi	1	3	5	8	12	9	5	2

Рис. 2. 2. Статистический полигон

Основными числовыми характеристиками случайных величин (п. 1) являются: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Аналогичные числовые характеристики существуют и для статистических распределений. В формулах для числовых характеристик дискретных случайных величин вероятность заменяют частостью и числовые характеристики статистических распределений оценивают из выражений

, , ,

где р_i - частость.

Применительно к данным, приведенным в статистической таблице, числовые характеристики равны

= 40,86≈41м; = 2,62 м²; = 1,62 м.

Задача № 1. Из вариантов индивидуальных контрольных задач (приложение 1) выбрать вариант, соответствующий порядковому номеру в подгруппе. Построить статистическую таблицу, начертить статистический полигон и оценить числовые характеристики результатов измерений.

О т ч е т н ы е м а т е р и а л ы

1. Результаты решения задач.

2. Ответы на контрольные вопросы.