Лекция 9

9.1. Кривые поверхности.

Кривая поверхность – непрерывное множество последовательных положений линии (называемой образующей) ,перемещающейся в пространстве по определенному закону вдоль другой линии, называемой направляющей.

Точка на поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на этой поверхности.

Линия принадлежит поверхности, если о каждой ее точке можно однозначно сказать, что они принадлежат поверхности.

Изображение поверхности.

На эпюре поверхность изображается при помощи очерковой образующей (очерк) – линии, точки которой являются точками касания проецирующих прямых заданной поверхности.

Классификация поверхностей.

1) По закону движения образующей;

1. С поступательным движением;

2. Поверхности движения;

3. Винтовое движение (вращательно-поступательное движение).

2) По виду образующей;

1. Линейчатые поверхности (образующая прямая);

2. Нелинейчатые поверхности (образующая кривая).

3) По признаку развёртываемости;

1. Развёртываемые (развертка без разрывов и смятий);

2. Неразвёртываемые (например, шар).

Поверхности вращения.

1) С криволинейной образующей;

1. Сфера (окружность вращается вокруг оси, проходящей через центр окружности);

2. Торовая поверхность;

3. Эллипсоид;

4. Параболоид;

5. Гиперболоид (однополосный и двуполосный).

2) Линейчатые поверхности вращения;

1. Прямой круговой конус (образующая – прямая, направляющая – окружность);

2. Цилиндр прямой круговой (направляющая – окружность).

Поверхность вращения – поверхность, образованная вращением линии вокруг неподвижной прямой (оси вращения).

Пересечение поверхности плоскостью.

1) Сфера – всегда окружность;

2) Цилиндр:

1. Секущая плоскость параллельная основанию – окружность;

2. Секущая плоскость непараллельная основанию – эллипс;

3. Секущая плоскость перпендикулярна основанию – прямоугольник.

3) Конус:

1. Секущая плоскость параллельна основанию – окружность;

2. Секущая плоскость проходит через вершину – треугольник;

3. Секущая плоскость под углом к основанию – эллипс;

4. Секущая плоскость перпендикулярна основанию (не через вершину) – гипербола;

5. Секущая плоскость параллельна образующим – парабола.

9.2. Позиционные задачи.

Задача I-го типа.

Задача II-го типа.

Задача III-го типа.

Пересечение конуса плоскостью общего положения.

1. Решаем с помощью посредников;

2. Определяем положение большой оси эллипса, она располагается по линии ската секущей плоскости α. Для этого введём вспомогательную плоскость-посредник β, которая

рассечёт конус по треугольнику (т.к. проходит через его вершину, а плоскость α по линии ската перпендикулярно горизонтальному следу);

3. Определяем положение малой оси эллипса. Она располагается перпендикулярно большой оси и проходит через ее середину. Для ее нахождения используется плоскость-посредник γ (горизонтально-проецирующая). Она рассекает конус по треугольнику, а плоскость α – по горизонтали. В пересечении треугольника и горизонтали на П₂ определяем крайние точки малой оси.

4. Определяем дополнительно характерные точки изменения видимости эллипса. Они расположены на очерковых образующих конуса. Для их нахождения на П₂ используем вспомогательную плоскость-посредник σ (фронтальная уровня).