7.4. Пересечение многогранников между собой.

Задача I-го типа.

З адача II-го типа.

Задача III-го типа.

Алгоритм решения:

Задача решается при помощи посредников.

1. Плоскостью-посредником (могут быть разные, чаще плоскость уровня) рассекаем обе поверхности;

2. Строим фигуры сечения плоскостью-посредником каждую из многогранных поверхностей (чаще многоугольники);

3. Находим общие точки пересечения этих многоугольников, принадлежащим плоскости-посреднику, и каждой из пересекающихся многогранных поверхностей;

4. Соединяем полученные точки с учётом видимости граней и рёбер многогранников.

Лекция 8

Построение развёрток многогранников.

Развертка – совмещенная с плоскостью поверхность многогранника без разрывов и смятий.

Развёртка многогранной поверхности – плоская фигура, полученная в результате последовательного совмещения всех её граней с плоскостью

8.1 Развёртка пирамиды. Способ триангуляции.

Сущность способа заключается в нахождении Н.В. всех рёбер пирамиды и построении на плоскости контуров боковых граней (треугольников), которые последовательно соединяют друг с другом смежными рёбрами. К ним присоединяется основание пирамиды

В данном примере Н.В. рёбер определяем способом вращения вокруг проецирующей оси, которая проходит через вершину пирамиды.

Точка К – произвольная точка.

1. Находим Н.В. каждого из рёбер пирамиды;

2. Строим треугольники на развёртке методом засечек;

3. Основание пирамиды – треугольник АВС на П 1 спроецирован в натуральную величину. Пристраиваем основание к ребру СА.

8.2 Развёртка призмы. Способ нормального сечения.

Сущность способа:

1. Многогранную поверхность пересекают плоскостью, расположенной перпендикулярно рёбрам.

2. Определяют Н.В. фигуры сечения (обычно плоско-параллельным перемещением);

3. На произвольной прямой откладывают отрезки, равные сторонам сечения (как бы растягиваем фигуру сечения в прямую линию);

4 . Через вершины проводят прямые, перпендикулярные этому сечению, и на них откладываем Н.В. рёбер призмы вверх и вниз от сечения.

8.3 Способ раскатки.

Сущность способа -

вращением вокруг линий уровня (рёбер призмы) последовательно совмещаем все боковые грани призмы в одну плоскость, пристраиваем нижнее и верхнее основания.

Для возможности построения развёртки способом раскаткой призма должна располагаться так, чтобы на эпюре :

1. Рёбра были линии уровня;

2. Основание проецировалось в Н.В.

Если призма занимает другое положение, то при помощи последовательных преобразований необходимо привести к таким исходным данным.

Задача.

1.Ось вращения ребро АА^I. Вращаем грань АА^IВВ^I, совмещаем эту грань с плоскость параллельной П₂

2.Плоскости вращения α, β; α ┴ АА^I, β ┴ ВВ^I

3.Центр вращения: для точки В– О, для точки В^I – O^I

4. R=A₁В₁= H.B.