Лекция 7
Многогранники.
7.1. Многогранные поверхности.
Многогранной называется поверхность, образованная отсеками (частями) пересекающихся плоскостей.
Многогранник – замкнутая многогранная поверхность.
Грань – отсек плоскости.
Ребро – линия пересечения граней.
Многогранники
Призмы Пирамиды
Призма – многогранник, у которого боковые рёбра параллельны основанию.
А) Прямая (боковые рёбра перпендикулярны основанию);
Б) Наклонная (боковые рёбра под наклоном к основанию).
Пирамида – многогранник, боковые рёбра которого пересекаются в одной точке (всегда образ общего положения).
Правильные многогранники – многогранники, грани которых являются правильными многоугольниками (куб: грань – квадрат, тетраэдр: грань – правильный треугольник).
7.2. Пересечение многогранника плоскостью.
Позиционные задачи.
Сечение многогранника плоскостью – многоугольник.
Стороны этого многоугольника – прямые пересечения многогранника с заданной плоскостью.
Вершины многоугольника – точки встречи рёбер с секущей плоскостью.
Задача I-го типа.
Прямая призма – проецирующий образ, имеет вырожденную проекцию.
Обычно есть необходимость определить Н.В. фигуры сечения.
В данном случае Н.В. треугольника 123 находим способом плоскопараллельного перемещения.
β П1, βI П1, βII П1 – плоскости вращения.
Преобразовали проецирующую плоскость в плоскость уровня.
Задача II-го типа.
Пирамида – всегда непроецирующий образ (общего положения).
А) Пирамида (плоскость α фронтально-проецирующая);
Б) Призма проецирующая (плоскость общего положения).
Задача III-го типа.
Решение задачи сводится к определению точек пересечения рёбер пирамиды с заданной плоскостью, т.е. к нахождению точки встречи прямой с плоскостью.
Последовательно заключаем каждое боковое ребро во вспомогательную плоскость-посредник. Таким образом, сводим задачу к задачe II-го типа.
1. Заключаем ребро AS в плоскость-посредник (σ – фронтальная плоскость уровня), σ ∩ α по фронтали;
2. Ребро BS заключаем во фронтально-проецирующую плоскость β;
3. Для нахождения точки 3 строим линию пересечения плоскостей α и стороны треугольника АСS. Одна общая точка 1 построена, а другая находится на пересечении прямой АС и следа точки F на П1.
Соединяем точки f2 и F2 – получаем проекцию пересечения плоскостей.
7 .3. Пересечение многогранника с прямой линией.
Построение точек входа и выхода.
З
адача
I-го
типа.
Оба образа проецирующие. Проекции результата находятся на вырожденных проекциях геометрических образов.
Точки пересечения прямой с многогранником – точки 1 и 2 – точки входа и выхода.
З
адача
II-го
типа.
Призма – фронтально-проецирующая, прямая а – общего положения.
1 – точка входа
2 – точка выхода
З
адача
III-го
типа.
1. Заключаем прямую а во фронтально-проецирующую плоскость-посредник α;
2. Строим фигуру сечения пирамиды плоскостью α. Решаем задачу II-го типа;
3. Выделяем искомые точки входа и выхода как точки пересечения заданной прямой с контуром фигуры сечения пирамиды плоскостью-посредником α.
Точка L – точка входа
Точка К – точка выхода