§4.Интерференция волн в нагруженной лп

Наличие в ЛП двух волн – падающей и отражённой, неизбежно приводит к их интерференции. Закон изменения комплексной амплитуды суммарного колебания таков:

Ú(ℓ) = Ú_пад(ℓ)+Ú_отр(ℓ) = Ú_{0 пад}e^iβℓ+Ú_{0 отр}e^­iβℓ= Ú_{0 пад}(1 + Γe^­2iβℓ) (1.48)

Учтя, что Γ = │Γ│e^iφ_н, можно преобразовать (1.48) к виду:

(Ú(ℓ)/Ú_пад)= (1 + 2│Γ│cos(2βℓ – φ_н) + │Γ│²)^0.5 (1.49)

то есть получить закон относительного изменения амплитуды напряжения вдоль ЛП, нагруженной на произвольный пассивный двухполюсник.

Проведя аналогичные преобразования для тока, получим:

( Í(ℓ) / Í_пад ) = (1 - 2│Γ│cos(2βℓ – φ_н) + │Γ│²)^0,5 (1.50)

Очевидно, что амплитуды напряжения и тока в ЛП являются периодическими функциями координаты ℓ и повторяются через отрезки L, удовлетворяющие условию 2βL= 2π, или L = λ/2.

Значения относительных амплитуд напряжений и токов изменяются в пределах от 1 + │Γ│ до 1 - │Γ│, причём если в данном сечении ЛП наблюдается максимум напряжения, то здесь же будет минимум тока, и наоборот.

Рис 1.4.

На рис.1.4 представлена кривая для конкретного значения Γ ≠ 0, она описывает стоячую волну. Максимумы стоячей волны называют пучностями, минимумы – узлами. Неравномерность графика зависит только от │Γ│, угол φ_н определяет координаты расположения узлов и пучностей. Отметим, что минимумы выражены гораздо резче по сравнению с максимумами.

Отношение │Ú│_max/│Ú│_min определяется как коэффициент стоячей волны:

КСВН = │Ú│_max ⁄│Ú│_min = (1 - │Γ│) ⁄ (1 + │Γ│) (1.51)

│Γ│ = (КСВН – 1) ⁄ (КСВН + 1) (1.52)

КСВН – вещественное число, изменяющееся от 1 до ∞. Иногда пользуются понятием – коэффициент бегущей волны КБВ; КБВ = 1/ КСВН. Картина распределения тока повторяет таковую для напряжения, но смещена вдоль оси l на величину λ ⁄4.

Если R_н = Z_н, то отражение от нагрузки отсутствует и│Γ│=0. Поэтому амплитуда напряжения во всех точках ЛП без потерь одинакова и равна амплитуду падающей волны.

Если R_н = 0 (режим короткого замыкания ЛП), то Γ = -1,│Γ│= 1 и φ_н = 180°. Из (1.49) следует

(│Ú(ℓ)│ ⁄ │Ú_пад = 2│sinβℓ│, (1.53)

следовательно, при ℓ = 0 (конец ЛП) имеется узел напряжения, последующие узлы располагаются через равные интервалы λ ⁄2.

Если Z_н =∞ (холостой ход), то │Γ│=1 и φ_н = 0. Поэтому

│ Ú(ℓ)│ ⁄ │Ú _пад│ =2│cosβℓ│ (1.54)

следовательно, при ℓ = 0 имеется пучность стоячей волны.

Если Z_н = iΧ, то

Γ = - (Z_в- iΧ_н) ⁄ (Z_в + iΧ_н),

откуда следует, что │Γ│=1, а φ = arctg (Χ_н ⁄ Z_в).

По формуле (1.49) можно получить

(│Ú(ℓ)│ ⁄ │Ú_пад= 2│sin(βℓ + arctg(Χ_н ⁄ Z_в) │ (1.55)

Если Χ_н>0 (индуктивная нагрузка), то arctg(Χ_н ⁄ Z_в)>0 и в конце линии наблюдается не экстремальное, а некоторое промежуточное значение амплитуды напряжения, при этом ближайшим к нагрузке экстремумом будет пучность стоячей волны. При Χ_н< 0 (емкостная нагрузка) картина стоячей волны смещается так, что ближайшей к нагрузке экстремальной точкой будет узел стоячей волны.

Практический интерес представляет случай R_н ≠ Z_в. Если R_н > Z_в, то из (1.45) следует, что Γ будет вещественным положительным числом, а при R_н < Z_в – вещественным отрицательным. В первой ситуации фазы напряжений падающей и отражённой волн на нагрузке совпадают, и напряжение на нагрузке возрастает; во второй ситуации наблюдаются противоположные явления. С помощью формулы (1.51) можно определить, что

Если R_н> Z_в , то КСВН = R_н ⁄ Z_в ;

Если R_н< Z_в, то КСВН = Z_в ⁄ R_н.

Закон изменения напряжения вдоль линии (1.50) принимает вид:

│Ú(ℓ)│⁄ │Ú_пад│= (1 + 2│cosβℓ + │Γ│²)^0.5 при R_н>Z_в ;

│Ú(ℓ)│⁄ │Ú_пад │=( 1 - 2│cosβℓ + │Γ│²)^0.5 при R_н<Z_в.