§2.Волновое сопротивление. Вторичные параметры лп

Для полного описания свойств ЛП необходимо установить закон распределения тока вдоль ЛП. Рассмотрим прямую волну , комплексные амплитуды напряжения и тока в которой удовлетворяют уравнениям Гельмгольца:

d²Ú_пр/dz² - γ²Ú_пр =0 (1.21)

d²ĺ_пр/dz² -γ²İ_пр =0 (1.22)

Решения этих уравнений одинаковы:

Ú_пр(z)=U_мe^­γz (1.23)

Í _пр(z) = Í_мe^­γz (1.24)

Установим связь между U_м и ĺ_м, подставив в телеграфное уравнение dÚ/dz=Z_пĺ соотношения (1.23) и (1.24). После сокращения на общий множитель exp(-γz) получим:

γU_м=Z_пİ_п ; U_м/ĺ_м=Z_п/γ.

Имея ввиду, что γ = (Z_пY_п)^0.5 , получаем

U_м/ĺ_м=(Z_п/Y_п)^0,5 (1.25)

Отношение комплексных амплитуд напряжения и тока в режиме бегущей волны называется волновым сопротивлением ЛП.

Из (1.25) следует, что волновое сопротивление равно:

Z_в=Ú_пр(z)/ĺ_пр(z) =(Z_п/Y_п)^0,5, Ом (1.26)

Z_в можно записать через первичные параметры ЛП:

Z_в = [(R_п+iωL_п)/(G_п+iωC_п)]^0.5 = |Z_в|e^iφ. (1.27)

В общем случае Z_в – комплексное число, зависящее от первичных параметров ЛП и частоты. Иногда Z_в называют характеристическим сопротивлением.

Если обратиться к случаю обратной волны, то легко найти:

-Z_в = Ú_обр(z)/Í_обр(z) , (1.28)

причём знак минус отражает факт обратного направления тока по сравнению с прямой волной и о противоположном направлении потока мощности.

Величины γ и Z_в являются важнейшими вторичными параметрами ЛП . Установлено:

γ = α+iβ [(R_п+iωL_п)(G_п+iωC_п)]^0.5 (1.29)

Найдём явные выражеия для α и β

α={0.5(R_пG_п–ω²L_пС_п)+0.5[(R_п²+ω²L_п²)(G_п²+ω²C_п²)]^0.5}^0.5 (1.30)

β ={0.5(ω²L_пC_п–R_пG_п)+0.5[(R_п²+ω²L_пC_п)(G_п²+ω²C_п²)]^0.5}^0.5 (1.31)

Кроме того, из (1.27) следует, что

|Z_в|=[(R_п²+ω²L_п²)/(G_п²+ω²C_п²)]^0.25 (1.32)

ψ = (1.33)

Из (1.33) следует, что в общем случае имеется некоторый фазовый сдвиг ψ между комплексными амплитудами Ú_пр и Í_пр в бегущей волне. Для большинства практически используемых ЛП справедливо R_п/L_п>G_п/C_п, поэтому ψ оказывается отрицательным и ток опережает напряжение.

Для идеализированной линии без потерь (α = 0) имеем

γ=iβ; V_ф=ω/β =1/(L_пC_п)^0.5,

то есть V_ф не зависит от частоты. При этом величина 1/(L_пC_п) в точности равна квадрату скорости света (с учётом свойств среды):

1/ (L_пC_п) =c²/(εμ) (c-скорость света в вакууме) (1.34)

Поэтому в ЛП без потерь

V_ф=c/(με)^0,5 (1.35)

Для волнового сопротивления ЛП без потерь имеем

Z_в = (L_п/C_п)^0,5 Ом , (1.36)

Z_в всегда вещественно, а значит напряжение и ток всегда синфазны. Кроме того, Z_в по (1.36) не зависит от частоты, а определяется исключительно геометрией поперечного сечения ЛП и свойствами заполняющего ЛП диэлектрика.