§3.Параметры распространения волны

3.1. Фазовая скорость – скорость перемещения вдоль оси z любого волнового фронта гармонической волны, характеризующегося постоянством фазы. Следовательно, волновой фронт волны должен удовлетворять условию

ωt – βz = const.

Для бесконечно малых изменений t и z ωdt – βdz =0 или ωdt = βdz. Пользуясь обычным определением скорости, найдём, что фазовая скорость волны

V_ф = dz/dt = ω/β (2.18)

Понятие V_ф применимо только к монохроматическому колебанию. С другой стороны, если длина волны в передающем волноводе есть λв, то V_ф = λ_вf = λ_в·ω/2π, откуда следует, что β = 2π/λ_В.

3.2. Групповая скорость – скорость распространения огибающей сложного сигнала. Понятие групповой скорости V_гр вводится в случае дисперсной системы передачи и сложных сигналов, состоящих из колебаний нескольких частот (имеющих сложный частотный спектр), когда понятие фазовой скорости неприменимо. Для определения V_гр рассмотрим простейший сигнал, содержащий всего две монохроматические составляющие с равными амплитудами Е₀, разными частотами ω₁ и ω₂ и разными волновыми числами ĸ₁ и ĸ₂. Пусть

Δω = (ω_{2 –} ω₁) << ω₀; Δĸ = (ĸ₂ – ĸ₁) << ĸ₀;

ω₀ = (ω₁ + ω₂)/2; ĸ₀ = (ĸ₁ + ĸ₂)/2.

Мгновенные значения поля напряжённости сигнала определяются выражением:

Е(z,t) = Re(E₀(expi(ω₂t – ĸ₂z) + expi(ω₁t – ĸ₁z))) =

Re(E₀cos(Δωt – Δĸz)·expi(ω₀t – ĸ₀z)) (2.19)

Как видим, амплитуда сигнала (2.18) Re(E₀cos(Δωt – Δĸz)) меняется по гармоническому закону и очень медленно по сравнению с высокочастотным заполнением ω₀. Скорость распространения сигнала найдём, зафиксировав некоторую точку на огибающей: Δωt – Δĸt = const. Выполнив дифференцирование по времени и перейдя к пределу при Δω → 0, определим групповую скорость волны:

V_гр = dω/dĸ. (2.20)

Рис 2.2.

Её можно рассматривать как скорость распространения огибающей сигнала, если зависимость фазовой скорости от частоты достаточно мала. В противном случае составляющие сигнала имеют различные скорости, что приводит к искажению формы огибающей. Проследить за перемещением какой – либо точки на этой огибающей невозможно, так что понятие "скорость распространения сигнала" теряет смысл.

Определим связь между фазовой и групповой скоростями. Для этого запишем

V_гр = dω/dĸ = d(V_ф·ĸ)/dĸ = V_ф + ĸ·(dV_ф/dĸ).

Полученное выражение легко преобразовать, учитывая, что

ĸ = 2π/λ и dĸ = (- 2π/λ²)·dλ.

Тогда окончательно получим выражение:

V_гр = V_ф – λ(dV_ф/dλ), (2.21)

называемое формулой Рэлея. Из (2.21) следует, что фазовая и групповая скорости могут быть различны не только по значению, но и по знаку.

3.3.Дисперсия – это зависимость фазовой скорости электромагнитной волны от частоты. По другому дисперсию можно определить как зависимость коэффициента (показателя) преломления среды n = c/V_ф от частоты.

Для нахождения V_ф продифференцируем (2.17а) дважды по z и полученное выражение подставим в волновое уравнение (2.9) для Е:

Δ_хуЕ + (γ² + ĸ²)Е = 0 или ∂²Е/∂x² + ∂²Е/∂у² + γ²Е + ĸ²Е = 0 (2.22)

Ограничимся случаем γ = iβ, тогда σ =0 и ε^' = 0 и ĸ² = ω²εε₀μμ₀. Известно, что для свободного пространства Е ≠ f(х,у), значит Δ_хуЕ = 0. Тогда ĸ² + γ² = 0, ĸ² = β², следовательно

ĸ = β = ω(εε₀μμ₀)^0.5 (2.23)

Тогда

V_ф = ω/β = 1/(εε₀μμ₀)^0.5 = c/(εμ)^0.5

При ε =1 и μ = 1 V_ф = c, то есть в свободном пространстве фазовая скорость равна скорости света.

Из (2.23) получаем

ĸ = (ω/c)·(εμ)^0.5 = (2πf/c)·(εμ)^0.5 = (2π/λ)·(εμ)^0.5 (2.24)

Таким образом, ĸ есть продольное волновое число для свободного пространства.

Если Δ_хуЕ ≠ 0, то ĸ²- β² ≠ 0. Пусть ĸ² - β² = ĸ²_кр. Поскольку ĸ = (2π/λ)·(εμ)^0.5 и β = 2π/λ_в , то из соображений размерности и однотипности коэффициентов положим, что ĸ_кр = 2π/λ_кр , тогда

(2π/λ)²·εμ – (2π/λ_в)² = (2π/λ_кр)² или εμ/λ² - 1/λ²_в = 1/λ²_кр (2.25)

λ_в = λ/(εμ – (λ/λ_кр)²)^0.5; V_ф = λ_вf = c/(εμ – (λ/λ_кр)²)^0.5 . (2.26)

Cледовательно, в случае выполнения условия Δ_хуЕ ≠ 0 фазовая скорость V_ф зависит от частоты (поскольку λ_в зависит от частоты), то есть возникает дисперсия. В вакууме (ε = 1 , μ = 1) V_ф всегда больше c, а при λ → 0 длина волны в дисперсной линии λ_в → λ и V_ф → c. В случае λ > λ_кр величины λ_в и V_ф становятся мнимыми, мнимым становится и волновое число β = 2π/λ_в. Но так как γ = iβ, то γ преобразуется в вещественное число, так что множитель e^-γz теперь характеризует не гармоническое изменение волны, а её затухание вдоль оси z без изменения фазы. Таким образом, λ_кр есть длина волны в свободном пространстве, отделяющая диапазон распространяющихся в линии передачи волн λ< λ_кр от диапазона затухающих волн λ > λ_кр. Диапазон λ > λ_кр называется областью отсечки.

Следовательно, возможно существование двух классов волн в ЛП: не имеющие дисперсии (V_ф = c, λ_кр = ∞; f_кр = 0) и дисперсные волны (Δ_хуЕ ≠ 0). Дисперсия называется нормальной, если с ростом частоты фазовая скорость уменьшается. При совпадении направления V_ф с направлением распространения энергии говорят о положительной дисперсии. В рассмотренной обобщённой линии возможна нормальная положительная дисперсия.

В общем случае при одновременном существовании поперечных составляющих поля и хотя бы одной продольной должно выполняться условие

k² + γ² ≠ 0, что соответствует условию дисперсии k² + γ² = k²_кр. Поэтому дисперсные волны должны иметь хотя бы одну продольную составляющую.

3.4.Постоянная распространения – об этой величине γ уже было сказано в §2. Повторим, что γ является постоянной распространения волнового процесса в ЛП общего характера. Полагая в общем случае γ = α + iβ, для электрического поля в линии получаем

Е = Е_м(х,у)·e^{- αz} expi(ωt – βz).

Очевидно, что величина α обусловливает затухание волны вдоль оси z (по направлению перемещения); величина β есть фазовая постоянная, определяющая пространственное (линейное) изменение фазы волны на единицу длины. При чисто мнимой величине γ волна распространяется вдоль ЛП без затухания (γ =iβ, α = 0). При чисто действительной величине γ волна по ЛП не распространяется (γ = α, β = 0). Электромагнитное поле затухает вдоль оси z по экспоненциальному закону без сдвига по фазе.