§9.Полосковые линии передачи

Полосковые линии наиблее часто используются в качестве линий передачи диапазона СВЧ. Объясняется это абсолютным технологическим превосходством полосковых ЛП по сравнению с другими типами ЛП при проектировании и производстве всей номенклатуры отдельных элементов СВЧ и , что более важно, при создании интегрированных многофункциональных устройств. С помощью полосковых ЛП решаются задачи по повышению функциональности разработок с одновременным улучшением электрических характеристик, а такжепо уменьшению размеров и существенному снижению стоимости готовых изделий.

Далее рассматриваются основные типы полосковых линий передачи.

9.1.Симметричная полосковая линия (СПЛ). СПЛ показана на рис.2.23.

Рис 2.23.

Основным типом волны в СПЛ является ТЕМ-волна, поэтому все основные конструктивные параметры могут быть полностью определены на основе электростатического анализа. Такой анализ существенно упрощается , если толщину центрального поводника t считать пренебрежимо малой: t = 0. В этом случае методом конформных отображений получены выражения для погонной ёкости, которые использованы при выведении формулы волнового сопротивления

Z_В√ε_r = 30π∙K'(k)/K(k), (2.162)

Где k = tg(πW/2b); K – полный эллиптический интеграл первого рода,

K' – дополнительная функция, определяемая уравнением

K'(k) = K(k'); k' = (1 – k²).

Если использовать аппроксимацию для отношения K/K' вида:

K(k)/K'(k) = [(1/π)ln(2(1 + √k')/(1 - √k'))]^-1 для 0 ≤ k ≤ 0,7;

= [(1/π)ln(2(1 + √k)/(1 - √k))]^-1 для 0,7 ≤ k ≤ 1; (2.163)

то для волнового сопротивления может быть получено простое выражение. Погрешность этой аппроксимации составляет 8∙10^-6. Формулы (2.163) позволяют рассчитать практически точное значение Z_В.

Для СПЛ с внутренним проводником конечной толщины наиболее точными являются следующие приближённые формулы:

Z_В√ε_r = 30ln{1+ (4/π)(b – t)/W[(8/π)(b –t)/W' + ((8/π∙(b–t )/W')² +6,27)^-0.5]} (2.164)

где W'/(b – t) = W/(b – t) + ΔW/(b – t);

ΔW/(b – t) = x/π(1 – x){1 – 0,5ln[x²/(2- x)² + 0 0796^m/(W/b + 1,1x)^m]};

m = 2[1 + (2/3)(x/(1 – x))]^-1; x = t/b.

Для W'/(b – t) < 10 погрешность расчёта составляет не более 0,5%.

При расчёте, конструировании и оптимизации устройств на СПЛ надо иметь уравнения, позволяющие определять ширину полоска W для заданного значения волнового сопротивления СПЛ с параметрами b,t и ε_r. Для полоски нулевой толщины значение W/b в функции Z_В и можно получить из (2.162) и (2.163):

W/b = (2/π)∙Arctg√k (2.165)

Где k = [ 1 - (℮^πX – 2)⁴ /(℮^πX + 2)⁴ ]^0.5 для x ≥ 1;

k = (℮^πX – 2)² /(℮^πX + 2)² для 0 ≤ x ≤ 1.

При t ≠ 0 уравнения для W/b можно получить из (2.164):

W/b = W₀/b – ΔW/b (2.166)

где W₀/b =8(1 – x)/π∙(℮^A + 0,568)^0.5/(℮^A – 1); A = Z_В√ε_r/30π;

ΔW/b = x/π{1 – 0,5ln [x²/(2 – x)² + (0.0796x)^m/(W₀/b – 0.26x)^m ]};

Величины x и m определены в (2.164).

Обратимся к определению потерь в СПЛ, которые могут быть разделены на две составляющие – потери в проводниках и потери в диэлектрике. Потери в проводниках определяются возрастанием индуктивности из-за проникновения магнитного поля в проводник. Для СПЛ эти потери можно рассчитать так:

α_пр = 0.0231∙R_S√ε_r/Z_В (∂Z_В/∂b - ∂Z_В/∂W - ∂Z_В/∂t) ; (2.167)

где R_S = (πfμ₀ρ)^0.5 поверхностное сопротивление проводника Ом/□;

ρ –удельное сопротивление проводника.

Принимая во внимание выражение для Z_В, получим:

α_пр = ; (2.168)

;

.

Как видно из (2.168), потери в проводниках возрастают пропорционально квадратному корню из частоты (из-за зависимости R_S).

Потери в диэлектрике для волны ТЕМ определяются формулой

α_д = (27,3√ε_r tgδ)/λ₀ (дБ/м) , (2.169)

они пропорциональны частоте и тангенсу угла диэлектрических потерь tgδ. На СВЧ потери в диэлектрике, как правило, малы по сравнению с α_пр, однако в миллиметровом диапазоне потери α_д становятся сравнимыми с α_пр, так как потери вдиэлектрике растут с частотой линейно, а потери α_пр пропорциональны квадратному корню из частоты.

Максимальная рабочая частота в СПЛ ограничена возможностью возбуждения волны Н-типа. Для широких линий критическая частота Н-волны низшего типа определяется выражением:

,(Гц) (2.170)

где W и b выражены в см.

Критическая частота f_кр уменьшается при увеличении расстояния между заземлёнными пластинами b или увеличении диэлектрической постоянной.

9.2.Микрополосковая линия (МПЛ). Конфигурация МПЛ показана на рис. 2.24.

Рис 2.24.

В отличие от СПЛ МПЛ есть неоднородная ЛП, так как не все силовые линии поля между полосковым проводником и заземлённой плоскостью проходят через подложку. Поэтому волна, распространяющаяся вдоль микрополоскового проводника, является не чистой ТЕМ-волной, но близкой к ней, или квази – ТЕМ-волной. Отметим, что эффективная диэлектрическая постоянная ε_rэф меньше диэлектрической постоянной подложки. Фазовая скорость в МПЛ определяется формулой

V_ф = с/√ε_rэф.

Известные численные методы расчёта характеристик МПЛ связаны с большим объёмом вычислений. Современные персональные компьютеры успешно справляются с требуемыми объёмом и скоростью вычислений, что позволяет в составе программ Microwave Office по заданным геометрии МПЛ, тангенсу угла диэлектрических потерь tgδ и значению ε_r в течение долей секунды получить высокоточные сведения о значениях волнового сопротивления, постоянной затухания на единицу длины и коэффициенте укорочения длины волны в выбранном варианте МПЛ.

В качестве справочного материала ниже приводятся выражения в замкнутой форме для волнового сопротивления и эффективной диэлектрической постоянной МПЛ с бесконечно тонким полосковым проводником ( t =0) и для случая t≠0:

Z_В = для ;

Z_В = для , (2.171)

где η = 120π Ом; (2.172)

Максимальная относительная погрешность расчёта по (2.171) и (2.171) не рпевышает 2%. Выражения для величины W/h в зависимости от Z_В и ε_r таковы:

для А > 1,52

для А 1,52; (2.173)

где А = В = ;

Точность выражений (2.173) не хуже 2%.

Представленные результаты получены при условии t =0. Однако практически конечная толщина полоски влияет на характеристики. Тем не менее, если t/h ≤ 0.005, теоретические значения, полученные для t/b = 0, очень хорошо совпадают с экспериментальными результатами.

Далее приводятся простые и точные формулы для величин Z_В и ε_rэф в МПЛ с полосковым проводником конечной толщины:

Z_В = для < 1,

Z_В = для ≥ 1, (2.174)

где ; ; ;

для ;

для ; .

Наличие продольных составляющих поля Е_Z и Н_Z приводит к дисперсии в МПЛ, проявляющуюся в зависимости Z_В и ε_r от частоты:

Z_В(f) = Z_ВТ – (Z_ВТ - Z_В)/(1 + G(f/f₀)²); ε_rэф(f) = (ε_R – ε_RэФ)/(1 + G(f/f₀)²), (2.175)

где G = и f₀ = 0,3976(Z_В/h).

В этих уравнениях f₀ измеряется в ГГц, h- в мм, Z_В – в Ом, Z_ВТ – волновое сопротивление полосковой линии шириной W и высотой 2h.

Важное значение приобретают формулы для определения потерь в МПЛ, поскольку они заметно больше таковых в СПЛ и коаксиале, не говоря уже о волновлдах. Формула потерь в проводниках для α_пр (дБ/м) такова

α_пр = 1,38А для ;

α_пр = 6,1∙10^-5А для , (2.176)

где определяется из (2.174); А =1 + ;

R_S =(πfμ₀ρ)^0.5; B = h (W/h ≥ 1/2π) или 2πW (W/h ≤ 1/2π).

Потери в диэлектрике α_д (дБ/м) определяются формулой

α_д = 27,3 ; (2.177)

Потери в диэлектрике обычно существенно меньше потерь в проводниках.

9.3.Щелевая линия. Щелевая линия применяется в устройствах, где надо обеспечить большое волновое сопротивление линии передачи, включение последовательных шлейфов и короткозамыкающих элементов, а также в интегральных микросхемах совместно с микрополосковыми линиями. В щелевой линии распространяется волна Н-типа. Известные методы анализа, описанные в литературе, не позволяют получить выражения в замкнутой форме для длины волны и волнового сопротивления. Выражения в замкнутой форме, приведённые ниже, получены путём аппроксимации кривых, полученных численным расчётом. Погрешность этих формул не превышает 2% для следующих значений параметров

9,7 ≤ ε_r ≤ 20; 0.002 ≤ W/h ≤ 1,0; 0,01 ≤ h/λ₀ ≤ h/λ_0кр ;

где 0,02 ≤ W/h ≤ 1,0; 0,01 ≤ h/λ₀ ≤ (h/λ₀)_кр;

(h/λ₀)_кр есть отношение h/λ₀, соответствующее критической частоте для поверхностной волны щелевой линии типа Н_10.. Это отношение определяется формулой

(h/λ₀)_кр = 0,25/ .

Рис 2.25.

Обозначение размеров щелевой линии показано на рис.2.25. Приведём расчётные соотношения:

для 0.02 ≤ W/h ≤ 0.2

λ_S/λ₀ = 0,923 – 0,195lnε_r + 0,2W/h – (0,126W/h + 0,02)ln(10²h/λ₀) (2.178)

Z_ВS = 72,62 – 15,283lnε_r +50 + ln(ω²W/h)(19,23 – 3,693lnε_r) - [(0,193lnε_r – 0,11 +W/h(0,465lnε_r + 1,44)](11,4 – 2,636lnε_r – 10²h/λ₀)² (2.179)

для 0,2 ≤ W/h ≤ 1,0

λ_S/λ₀ =0,987– 0,21lnε_r +W/h(0,111– 0,0022ε_r)–(0.053+ 0,041W/h+0.001ε_r)ln(ω²h/λ₀)

Z_{ВS =} 113,19 – 23,257lnε_r + 1,25W/h(114,59 – 22,531lnε_r) + 20(W/h – 0,2)(1 – W/h) - [+ 0,1lnε_r + W/h(-0,79 + 0,899lnε_r)]∙{[- 2,171lnε_r + W/h(2,1 – 0,617lnε_r) – 10²h/λ₀]²}

Последние два соотношения имеют нумерацию (2,180) и (2,181).

9.4.Копланарная линия (копланарный волновод). Копланарные линии находят широкое применение в интегральных схемах СВЧ. Использование копланарных волноводов повышает гибкость конструирования, упрощает исполнение при реализации некоторых функций устройств. Конфигурация копланарного волновода (КПВ) показана на рис.2.26а. Кроме КПВ имеется ещё одна важная конфигурация, представленная на рис 2.26б. Эта конфигурация называется копланарной полосковой линией (КПЛ). Оба варианта относятся к типу "копланарных линий", в которых все проводники расположены в одной плоскости (то есть на одной стороне диэлектрической подложки). Важным достоинством линий этого типа является возможность существенно более простого монтажа навесных элементов последовательно или параллельно с линией. При этом нет необходимости высверливать отверстия или фрезеровать пазы в подложке. Все данные, представленные в данном разделе, основаны на квазистатическом анализе. Дисперсионные свойства КПВ аналогичны таковым для МПЛ. Кроме того, дисперсия КПВ на подложках с низкой диэлектрической постоянной (ε_r ≤ 2,5) незначительна.

Рис 2.26.

Для диэлектрика конечной толщины результаты квазистатического анализа могут быть преобразованы следующим образом:

Z_ВКВ = , (2.182)

Выражение для эффективной диэлектрической постоянной в замкнутой форме имеет вид:

(2.183)

Точность этого выражения не хуже 1,5% для ε_r ≥ 9; h/W ≥ 1 и 0 ≤ k ≤ 0,7.

Для КПЛ волновое сопротивление может быть рассчитано по формуле

Z_ВКПЛ = ; (2.184)

Где рассчитывается по (2.183).

Для расчёта потерь в проводниках КПВ справедлива формула:

(2.185)

где P' = для 0 < k < 0.707;

P' = для 0,707 ≤ k ≤ 1,0 (2.186)

Постоянная затухания (дБ/м), определяемая потерями в диэлектрике КПВ,

может быть записана таким образом:

α^кв_д = 27,3 , (2.187)

Для постоянной затухания в КПЛ справедливо:

; (2.188)

где P' определяется по (2.186).

Потери в диэлектрике КПЛ, как и в диэлектрике КПВ, определяются выражением (2.187).

9.5.Диэлектрические волноводы. Передача эленктромагнитных волн может осуществляться с помощью передающих линий, образованных из диэлектрических пластин или стержней, не ограниченных металлическими поверхностями. Такой линией является круглый диэлектрический волновод – сплошной диэлектрический цилиндр. Распространение волн по диэлектрическому волноводу с физической точки зрения обусловлено полным внутренним отражением волны при её наклонном падении на повержность раздела двух диэлектриков со стороны диэлектрика с большей диэлектрической проницаемостью.

Аназиз показывает, что волны в диэлектрическом волноводе (ДВ) в общем случае являются гибридными, поскольку имеют все шесть составляющих электрического и магнитного полей. Среди бесчисленного множества типов волн, могущих существовать в ДВ, наибольший интерес представляет так называемая дипольная волна типа Н₁₁, структура которой изображена на рис.2.27. Эта волна имеет бесконечно большую критическую длину волны и, следовательно, может существовать на любых частотах. Напряжённость поля спадает приблизительно по экспоненциальному закону в радиальном направлении при удалении от поверхности диэлектрика. Часть энергии передаётся внутри диэлектрика, остальная движется вне его. Излучения энергии при этом не происходит, поле как бы "прижимается" к диэлектрическому стержню. Этот эффект тем значительнее, чем больше отношение диаметра стержня d к длине волны в свободном пространстве и чем выше ε_r материала стержня.

Рис 2.27.

Обладающие такими свойствами волны называют поверхностными. Фазовая скорость поверхностных волн всегда несколько ниже скорости света в пустоте.

Затухание волн в ДВ зависит от tgδ диэлектрика и убывает с уменьшением отношеня d/λ, так как при этом всё меньшая часть энергии переносится внутри диэлектрика.

ДВ особенно важен для нижней части миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов волн, где полые металлические волноводы имеют весьма малые размеры и значительные коэффициенты затухания. Для работы на одной волне Н₁₁ диаметр d стержня должен быть достаточно малым, чтобы не допустить возбуждения ближайшего высшего типа волны, критическая длина волны которого составляет

λ_кр = ~ 1,3d(ε_r1 –ε_r2)^0.5,

где ε_r1 и ε_r2 – проницаемости материалов стержня и окружающей среды соответственно. Следовательно, необходимо выполнять условие:

d < λ/(1,3(ε_r1 –ε_r2)^0.5).

9.6.Электромагнитные волны в световодах.Стекловолоконные световоды с успехом и всё более в широких масштабах применяются в технике оптической связи и других областях оптоэлектроники. Простейшая картина распространения световой волны в световоде основана на представлении о полном внутреннем отражении лучей (волн) от внутренней поверхности цилиндрического волокна, как и в случае диэлектрического волновода (см. п.9.5). На рис.2.28 изображён отрезок цилиндрического световода, состоящего из сердцевины с показателем преломления n₁ и оболочки с показателем преломления n₂, причём n₂ > n₁. Луч, вошедший в плоский торец световода, будет испытывать многократные полные внутренние отражения, если угол падения на торец удовлетворяет условию α < α_m , где

sinα_m = 2n(∆n)^0.5 ; n = (n₁ + n₂)/2; ∆n = n₁ – n₂.

Величина sinα_m называется числовой апертурой световода. При современной технологии сверхчистого кварцевого стекла затухание волны в этом простейшем световоде проявится на расстояниях порядка нескольких километров. Более сложные структуры световодов без резкой границы между двумя цилиндрическими слоями, в которых создаётся градиент состава стекла, обеспечивают распространение волны с допустимым затуханием на расстояния более 100 км.

Рис 2.28.

Часто возникает вопрос, зачем нужна оболочка световода, если полное внутреннее отражение возможно и на границе с воздухом. Ответ учитывает два обстоятельства. Первое связано с проникновением волны при полном внутреннем отражении на глубину порядка длины волны во вторую среду. Неизбежное несовершенство поверхности незащищённого облочкой волокна приведёт к потерям мощности на поглощение и рассеяние. Второе обстоятельство специфично для проблемы передачи информации по волокну в виде очень коротких световых импульсов. Из рис.2.28 понятно, что расходящийся пучок лучей, вошедших в световод, будет распространяться по множеству траекторий, имеющих разную длину. Поэтому короткий импульс расплывается, и вести передачу при высокой частоте следования световых импульсов будет невозможно. Вычисление показывает, что уширение импульса вследствие разности хода аксиальных и наклонных лучей выражается формулой:

,

где - длина пути в световоде в км.

При = 0,5 (n₁ = 1,5; n₂ = 1,0) уширение составит 2,5мкс/км, а при = 0,01 оно сократится до 34 нс/км. Дальнейшее сокращение уширения импульса достигается при таком распределении легирующих примесей в стекле, когда профиль показателя преломления становится параболическим или более сложным (рис.2.29). Современные световоды могут работать при частоте повторения импульсов порядка 10 ГГц, когда временной интервал между импульсами менее 0,1 нс. В перспективных устройствах частота импульсов повышается до сотен ГГц.

Рис 2.29.

Теория распространения световых волн по световоду в принципе не отличается от теории СВЧ-волноводов: и там, и тут нужно решать уравнения Максвелла с граничными условиями. Аксиальная симметрия волокна позволяет упростить решение переходом к цилиндрическим координатам r,φ,z. Решение для двухслойного волновода получается в аналитической форме. Для аксиальной (продольной) составляющей полей получены формулы:

Ψ_z = ψ₁Ј_k(U_kmr)coskφ для сердцевины,

Ψ_z = ψ₂K_k(W_kmr)coskφ для оболочки.

Под ψ_К понимаются электрические и магнитные поля, Ј_k – функция Бесселя порядка k и K_k – функция Ханкеля порядка k. Аргументы функций определяются параметрами U_km и W_km, зависящими от ещё одного целого числа m. Поэтому тип волны (мода) характеризуется двумя целыми числами m и k. Анализ показывает, что при k = 0 решения распадаются на два класса. Первому соответствуетобращение в ноль аксиальной составляющей электрического поля, а второму магнитного поля. Следовательно, в цилиндрическом световоде могут существовать рассмотренные ранее ТЕ и ТМ моды с индексами k и m.

Рис 2.30.

Нас интересуют низшие моды при k = 0: ТЕ₀₁ и ТМ_01. Функция coskφ при этом обращается в единицу и распределение поля не зависит от азимута. На рис.2.30 изображены радиально-симметричные моды, а также более сложная мода НЕ₁₁, укоторой существуют продольные компоненты обоих полей. Хотя эту моду называют "гибридной", она наиболее полезна, когда требуется обеспечить одномодовый режим. Такие световоды нужны для создания интерферометров, например, для оптических измерителей малых угловых скоростей (гирометров). Ограничимся только числовой характеристикой одномодовости: для λ =1,5 мкм при ∆n = 0,01 одномодоаым будет световод с диаметром сердцевины меньше 7 мкм. Все моды с другими индексами не могут проходить через такой световод.

85