§7. Понятие о волновых матрицах

В теории и практике расчётов устройств СВЧ помимо матрицы передачи широко используют и другие матрицы, характерные для цепей с распределёнными параметрами. Пусть ко входу и выходу линейного четырёхполюсника подключены две регулярные ЛП с волновыми сопротивлениями Z_в1 и Z_в2 (рис.1.9). Если ввести комплексные амплитуды токов и напряжений на входных и выходных контактах этого четырёхполюсника , то полное описание его внешних характеристик даётся двумя уравнениями:

Ú₁ = АÚ₂ + ВÍ₂

Í₁ = СÚ₂ + ДÍ₂ (1.68)

Рис 1.9.

Комплексные величины Ú₁, Ú₂, Í₁, Í₂ связаны с комплексными амплитудами напряжения падающих и отражённых волн , распространяющихся в обеих линиях

Ú₁ = Ú_1пад + Ú_1отр; Í₁ = Ú_1пад ⁄ Z_в1 – Ú_1отр ⁄ Z_в1

Ú₂ = Ú_2пад + Ú_2отр; Í₂ = Ú_2пад ⁄ Z_в2 – Ú_2отр ⁄ Z_в2 (1.69)

Если теперь (1.69) подставить в (1.68), получим два линейных алгебраических уравнения, связывающих четыре переменных:Ú_1пад, Ú_1отр, Ú_2пад,Ú_2отр. Любые две из этих переменных можно принять в качестве независимых, а две оставшиеся определить с помощью уравнений связи. Нетрудно определить, что число возможных комбинаций равно шести, однако на практике применяются только две.

1. В качестве независимых переменных принимаются комплексные амплитуды падающей и отражённой волн на выходе четырёхполюсника. Соответствующая система уравнений, эквивалентная (1.68), приобретает вид:

Ú_1пад = T₁₁Ú_2пад + T₁₂Ú_2отр

Ú_1отр = T₂₁Ú_2пад + T₂₂Ú_2отр (1.70)

Матрица коэффициентов этой системы

|T| = |T₁₁ T₁₂|

|T₂₁ T₂₂|

получила название волновой матрицы передачи четырёхполюсника. При подстановке (1.69) в (1.68) получим выражения для элементов матрицы |T| :

T₁₁ = 0.5(А + В/Z_в2 + СZ_в1 + Д Z_в1/Z_в2)

T₁₂ = 0.5(А – В/Z_в2 + С Z_в1 – ДZ_в1/Z_в2)

T₂₁ = 0.5(А + В/Z_в2 - СZ_в1 – ДZ_в1/Z_в2) (1.71)

T₂₂ = 0.5(А – В/Z_в2 - СZ_в1 + ДZ_в1/Z_в2)

3. Пусть независимыми переменными являются амплитуды волн, распространяющихся с обеих сторон по направлению к четырёхполюснику, тогда

Ú_1отр = S₁₁Ú_1пад + S₁₂Ú_2отр

Ú_2пад= S₂₁Ú_1пад + S₂₂Ú_2отр. (1.72)

Матрицу коэффициентов системы (1.72)

|S| = |S₁₁ S₁₂|

|S₂₁ S₂₂|

называют матрицей рассеяния четырёхполюсника. Из сравнения (1.70) и (1.72) можно определить

S₁₁ = T₂₁/T₁₁ ; S₁₂ = (T₁₁T₂₂ – T₁₂T₂₁)/T₁₁ ;

S₂₁ = 1/ T₁₁ ; S₂₂ = - T₁₂/T₁₁ . (1.73)

Широкое использование T- и S – матриц в теории цепей СВЧ обусловлено наглядностью, прямым физическим смыслом и простотой экспериментального определения. Так из (1.70) следует, что T₁₁ есть отношение амплитуд напряжений на входе и выходе четырёхполюсника в режиме согласования по выходу, то есть прямой коэффициент передачи. Аналогично, S₁₁ есть комплексный коэффициент отражения на входе при согласовании на выходе.

В рассмотренные системы уравнений не входят токи, которые на СВЧ не только трудно измерить, но иногда (как в случае полых волноводов) даже нельзя однозначно определить.

Дальнейшее усовершенствование матричного описания распределённых систем связано с принципом нормировки токов и напряжений. На СВЧ проще всего измерять мощность, переносимую волной вдоль ЛП. Существуют волновые системы (линии с поверхностными акустическими или электромагнитными волнами) , в которых токи и напряжения приобретают формальный смысл, в то время как мощность в ЛП имеет строгий физический смысл. Стремление создать аппарат описания процессов любой природы, протекающих в разнообразных ЛР, привело к понятию волновых амплитуд или нормированных напряжений падающих и отражённых волн:

Ú_1пад^н = Ú_1пад/√2Z_в1 ; Ú_1отр^н = Ú_1отр/√2Z_в1 ;

Ú_2пад^н = Ú_2пад/√2Z_в2 ; Ú_2отр^н = Ú_2отр/√2Z_в2 . (1.74)

Волновые амплитуды имеют размерность квадратного корня из мощности; для вычисления мощностей достаточно найти квадраты модулей соответствующих волновых амплитуд:

P_1пад = Ú_1пад^н(Ú_1пад^н)*; P_1отр = Ú_1отр^н(Ú_1отр^н)*

P_2пад = Ú_2пад^н(Ú_2пад^н)*; P_2отр = Ú_2отр^н(Ú_2отр^н)*.

Волновые амплитуды падающих и отражённых волн связаны нормированной волновой матрицей передачи, а также нормированной матрицей рассеяния. Так для системы

Ú_1пад^н = T₁₁^нÚ^н_2пад + T^н₁₂Ú^н_2отр ;

Ú^н_1отр = T^н₂₁Ú^н_2пад + T^н₂₂Ú^н_2отр ,

используя (1.74), можно убедиться, что

|T^н| = ( Z_в1 ⁄ Z_в2)^0,5 |T|.

Аналогично для матрицы рассеяния в нормированном виде

|S^н | = |S₁₁ S₁₂( Z_в2/Z_в1)^0,5|

|S₂₁(Z_в1/Z_в2)^0,5 S₂₂ |