4.6. Залежність ізобарної та ізохорної теплоємностей від тиску та об’єму

1. Залежність С_Р від р. при Т=const, знаходимо так.

Рівняння (4.73)

=V – T (4.210)

продиференціюємо за температурою при р=const

= = – T . (4.211)

Відомо, що порядок диференціювання не впливає на обчислення змішаної похідної

= = . (4.212)

Враховуючи, що = C_P,

можемо записати для неідеального ґазу

= – T . (4.213)

Для ідеального ґазу, що підпорядковано рівнянню Карно-Клапейрона

pv=RT, перша похідна при р=const = =сonst, то друга похідна =0, тому з рівняння (4.213) витікає, що

= 0, (4.214)

тобто ізобарна теплоємність ідеального ґазу не залежить від тиску.

2. Залежність С_Р від V. при Т=const, знаходимо з рівняння (4.213) так:

= – T ;

= –T ; (4.215)

= – T . (4.216)

Для ідеального ґазу, так як , а = 0, то рівняння (4.216) перетвориться у:

= 0, (4.217)

тобто ізобарна теплоємність ідеального ґазу не залежить від об’єму.

3. Залежність С_V від V. при Т = const, знаходимо так.

Рівняння (4.66)

= T – p (4.218)

продиференціюємо за температурою при V=const

= T + = Т (4.219)

і далі

= = , (4.220)

враховуючи, що = С_V , можемо записати для неідеального ґазу:

=T . (4.221)

Для ідеального ґазу:

= =const, =0, (4.222)

тому   = 0, (4.223)

тобто ізохорна теплоємність ідеального ґазу не залежить від об’єму.

4. Залежність С_V від р. при Т=const, знаходимо з рівняння (4.221) так:

=T (4.224)

=T (4.225)

=T (4.226)

Для ідеального ґазу, так як , а =0, то рівняння (4.226) перетвориться у:

=0, (4.227)

тобто ізохорна теплоємність ідеального ґазу не залежить від тиску.

4.7. Зв’язок теплоємности з ентропією. Диференціяльні рівняння ентропії

1. Якщо S=S ( T, V )

dS = (4.228)

З рівняння

δQ _V = C_V dT = TdS_V (4.229)

отримаємо вираз для першого члену рівняння (4.228)

= . (4.230)

Рівняння (4.230) характеризує зміну ентропії при ізохорній зміні температури.

Для знаходження виразу для другого члену рівняння (4.228) використаємо співвідношення (4.180) для частинних похідних:

= – 1 . (4.231)

Звідки

= – (4.232)

Враховуючи, що dU=TdS–pdV, за умов взаємности частинних похідних, будемо мати:

= – (4.233)

Вираз (4.233) підставимо у (4.232), дістанемо

= = . (4.234)

Рівняння (4.234) характеризує зміну ентропії при ізотермному розширенні або стискуванні при певному співвідношенні основних параметрів р, v, T.

Підставимо у рівняння (4.228) вирази (4.230) і (4.234), отримаємо

dS = dV, (4.235)

що відбиває залежність S=S (T, V).

2. Якщо S=S ( T, p ), то

dS = dT+ dp. (4.236)

З рівняння

δQ_P = C_PdT = TdS_P (4.237)

отримаємо вираз для першого члену рівняння (4.236)

= . (4.238)

Рівняння (4.238) характеризує зміну ентропії при ізобарній зміні температури.

Для знаходження виразу для другого члену рівняння (4.236) використаємо співвідношення (4.180) для частинних похідних:

= –1. (4.239)

Звідки

= – . (4.240)

Враховуючи, що dH=TdS+Vdp, за умов взаємности частинних похідних, будемо мати:

= . (4.241)

Вираз (4.241) підставимо у (4.240), одержимо:

= – = – . (4.242)

Рівняння (4.242) характеризує зміну ентропії при ізотермному розширенні або стискуванні при певному співвідношенні основних параметрів р, v, T.

Підставимо у рівняння (4.236) вирази (4.238) і (4.242), отримаємо

dS = dT – dp, (4.243)

що відбиває залежність S=S ( T, p).

3. Якщо S=S ( p, V)

dS = dp+ dV. (4.244)

Виходячи з визначення ентропії:

dS = ,

dS_V = ,

звідки

= ; (4.245)

Аналогічно

dS_p = ,

звідки

= ; (4.246)

Після підстановки (4.245) і (4.246) в (4.244), отримаємо:

dS = dp+ dV, (4.247)

що відбиває залежність S=S ( p, V).