4 .10.3. Теплоємність шарових структур

Теорія Дебая описує тривимірний континуум (гомодинамічні структури), для яких характерна ізотропія силових сталих. Тарасов В. В. використав підхід Дебая до двовимірного і одновимірного континуумів, (гетеродинамічних структур), для яких характерна анізотропія силових сталих. При цьому тривимірний континуум розглядався як граничний для двовимірного.

4.10.3.1. Структура невзаємодіючих шарів

Для густини станів Тарасов В.В. взяв інші формули, ніж П. Дебай:

; (4.330)

. (4.331)

П роінтеґруємо (4.331), враховуючи і , отримаємо:

(4.332)

,

де θ − характеристична температура двовимірного континууму.

П родиференціюємо U_μ по Т, враховуючи , отримаємо:

. (4.333)

Вираз у квадратних дужках:

називають функцією Тарасова для двовимірного континууму, тоді (4.333) набуде вигляду:

. (4.334)

Аналіз цього рівняння приводить до того, що

1. при Т >> θ T → ∞, x → 0, то, розкладаючи ехр (х) (4.333) у ряд Макларена і обмежуючись двома членами цього ряду, отримаємо, що → 1, тобто рівняння (4.334) при високих температурах набуде вигляду рівняння Дюлонґа і Пті:

C_μV = 3R_μ=const;

2) при Т << θ, T → 0, x → ∞, розкладаючи інтеґрал (4.333) по частинах або представляючи підінтеґральний вираз як ряд з безкінечною кількістю членів і визначаючи суму цього ряду, отримаємо:

, (5.335)

тобто C_μV ~ f (T²), а не як C_μV ~ f (T³) за П. Дебаєм.

4.10.3.2. Структура із взаємодіючими шарами

Частотний спектр для цих структур В.В. Тарасов розділив на дві частини:

1. коливання двовимірного континууму, що займає ділянку високочастотного спектру (ν_max … ν₁);

2. коливання системи взаємозв'язаних між собою двовимірних континуумів, яка коливається за законами тривимірного континууму і що займає ділянку низькочастотного спектру (ν₁ … 0).

У цих двох ділянках частотного спектру щільність станів буде:

для двовимірного континууму ; (4.336)

для тривимірного континууму ; (4.337)

разом

, (4.338)

де 3N₁ + 3N₂ = 3N. При цьому

3N₁=3N

3N₂=3N .

Введемо означення:

, (4.339)

де θ₂ і θ₃ − характеристичні температури відповідно для двовимірного континуума і системи взаємопов’язаних між собою двовимірних континуумів, яка коливається за законами тривимірного континуума.

З урахуванням (4.339) співвідношення (4.338) набуде вигляду:

. (4.340)

Тоді

. (5.341)

Після інтеґрування (4.341) набуде вигляду:

(4.342)

П родиференціюємо U_μ за Т:

(4.343)

Позначимо вирази у квадратних дужках так:

4 ;

;

,

тоді отримаємо вираз (4.343) у вигляді:

. (4.344)

Аналіз (4.344) приводить до таких результатів:

1. при Т >> θ_2,3 вираз (4.344), що міститься у фіґурних дужках, прагне до 1, то C_μV= 3R_μ (формула Дюлонга і Пті);

2) при Т << θ_2,3 вираз (4.344) переходить у формулу Дебая:

, (4.345)

де θ_2,3 = θ₂^2/3 · θ₃^1/3 − зведена температура Дебая.

При низьких температурах для таких структур зростає роль низькочастотних коливань, а високочастотні коливання майже не збуджуються, у результаті чого шарова структура при низьких температурах поводить себе більш гомодинамічно, що і відбивається у формулі (4.345), яка правдива при Т << θ_2,3. При великій різниці характеристичних температур θ₂ і θ₃ за ділянкою температур θ_2,3 >> Т з боку більш високих температур спостерігається відхилення C_μV ~ f (T³) до C_μV ~ f (T²), бо вираз (4.344) прагне до мінімуму.

Як бачимо, для шарових структур введено дві характеристичні температури Дебая θ₂=θ_┴ і θ₃=θ_ІІ, які характеризують коливання у напрямку гексагональної вісі і у напрямку перпендикулярної до неї відповідно. Так, знайдемо, що для шарових структур графітів:

θ₂ = θ_┴ = 2100 − 2500 К;

θ₃ = θ_ІІ = 600 − 900 К,

що підтвердили експериментальні дані для графітів:

Маґнуса θ_┴ = 2280 К; θ_ІІ = 760 К;

Герні θ_┴ = 2100К; θ_ІІ = 614 К;

Крамхансла і Брукса θ_┴ = 2500 К; θ_ІІ = 900 К.

120