4.2.2. Зв’язок ізобарної та ізохорної теплоємностей

4.2.2.1. Рівняння Майєра для ідеального ґазу

1. Ізохорна та ізобарна теплоємности

Для ідеального ґазу h=f (T), u=f (T), с=f (x, T, N), де N- атомність ґазу.

а) із першої форми запису першого начала термодинаміки

δq = du + pdv (4.32)

для ізохорного процесу (v=const, dv=0) витікає, що

δq_V = du (4.33)

і далі

= с_V = .

Для ідеального ґазу

c_V = . (4.34)

Звідки ізохорна теплоємність c_V характеризує темп зростання внутрішньої енергії при підвищення температури:

δq_V = с_VdT = du; (4.35)

du = с_VdT; (4.36)

б) із другої форми запису першого начала термодинаміки

δq = dh – vdp (4.37)

для ізобарного процесу р=const (dp=0) витікає, що

δq_P = dh

і далі

= с_Р = . (4.38)

Для ідеального ґазу

c_Р = .

Звідки ізобарна теплоємність с_Р характеризує темп зростання ентальпії при підвищенні температури:

δq_Р = с_РdT = dh; (4.39)

dh = с_PdT; (5.40)

2. Зв’язок між ізобарною та ізохорною теплоємностями

Розглянемо співвідношення (визначення ентальпії) для m=1 кг ґазу:

h = u + pv (4.41)

dh = du + d (pv) (4.42)

Продиференціюємо рівняння (4.42) за температурою:

= + (4.43)

Для ідеального ґазу

=с_р , =с_v , а з рівняння Карно- Клапейрона pv=RT (де R – питома ґазова стала), = R,

тоді с _р= с_V + R, або

с_р – с_V = R (4.44)

Співвідношення (4.44) називається рівнянням Майєра (1842р.)

Рівняння (4.44) отримано для масових теплоємностей і m=1кг. Для m кг ґазу (4.44) має вигляд:

mс_p – mс_V = mR

C_p – C_V = mR (4.45)

За допомогою аналізу розмірностей можна знайти форму запису рівняння Майєра (4.44):

а) для об’ємних теплоємностей, виходячи з того, що с_р , с_V  , R , то · = .

Розмірність [кг/м³] відповідає густині ґазу ρ = 1/v (де v = 1/ρ [м³/кг]), тоді рівняння (4.44) необхідно множити на ρ або 1/ ρ:

ρ · с_р – ρ · с_V = ρR;

ρ·с_p · = с_p^′ ;

ρ·с_V · = с_V^′ ;

R – питома ґазова стала, ρ · R , то

С_р′ − С_V ′ = ρR, (4.46)

або

;

С_p^′– C_V^′ = , (4.47)

де С_p^′, C_V^′ – об’ємні ізобарна та ізохорна теплоємності відповідно.

б) для мольних теплоємностей, виходячи з того, що

[Дж/кг·К] · [кг/моль] ≡ [Дж/моль·К].

Розмірність [кг/моль] відповідає молярній масі , тоді рівняння (4.44) необхідно множити на :

с_р – с_V = R

с_р · = с_{ p} –мольна ізобарна теплоємність;

с_V · = с_{ V} –мольна ізохорна теплоємність;

R · = R_ – універсальна ґазова стала.

с_{ p} – с_{ V} = R_ (4.48)

3. Сформулюємо фізичний смисл рівняння Майєра.

Для р=const, n=1моль і dT=1K:

C_{ p} чисельно буде дорівнювати Q_p[Дж]

C_{ V} чисельно буде дорівнювати Q_V[Дж]

R_=   = =  чисельно дорівнює L_p[Дж].

Врахуємо, що C_V = , а для 1 моля і dT=1K C_V чисельно буде дорівнювати dU, тоді Q_p = dU + L_p, тобто рівняння Майєра є частинним випадком першого начала термодинаміки для ізобарного процесу, 1 моля ідеального ґазу, при зміні його температури на 1К в цьому процесі.

4. Дамо відповідь на питання: чому для ідеального ґазу ізобарна теплоємність більша ізохорної? Виходячи з того, що рівняння Майєра

C _p- C _V = R

а) для ізобарного процесу р=const, m=1кг і dT=1K можна ізобарну теплоємність записати через теплоти і роботу:

C_p ≡ Q_p= dU + L_p (4.49)

б) для v=const, m=1кг і dT=1K

L_V= pdV = 0,

то ізохорна теплоємність С_V ≡ Q_V= dU. (4.50)

З аналізу рівнянь (4.49) і (4.50) випливає висновок, що для нагріву 1кг ідеального ґазу на 1К в ізобарному процесі необхідно підвести Q_p тепла, яке витрачається на збільшення внутрішньої енергії dU (що відповідає dT=1K) і виконанню роботи розширення L_p, а для нагріву 1кг ідеального ґазу на 1К в ізохорному процесі необхідно підвести Q_Vтепла, яке витрачається лише на ту величину збільшення внутрішньої енергії (що відповідає dT=1K ), при цьому термодинамічна робота не виконується, тому Q_p > Q_V, звідки C _p>C_V.

5 . Коефіцієнт Пуассона та співвідношення між термічними параметрами термодинамічного стану. Співвідношення k= отримало назву коефіцієнта Пуассона. Так як dU=C_VdT, dH=C_PdT, то k= .

У теорії ідеальних ґазів для оборотнього адіабатного процесу цей коефіцієнт є показником ізоентропи – показником оборотньої адіабати

pV^k = const. (4.51)

Для оборотнього адіабатного процесу ідеального ґазу справедливі співвідношення між термічними параметрами р, V,T:

а) p₁V₁^k =const; p₂V₂^k =const;

p₁V₁^k =p₂V₂^k =const, звідки

(4.52)

б) для ідеального ґазу з рівняння С_р – С_V = R витікає:

(4.53)

Так як C _p > C _V, то к >1:

; (4.54)

З рівняння (4.54), в якому у правій частині для даного ґазу змінною величиною є лише С_V, яка збільшується із зростанням температури, випливає, що значення к зменшується із зростанням температури.

. (4.55)

З (4.54), (4.55) випливає, що

; (4.56)

. (4.57)

д ля поглибленого вивчення

в) з рівняння першої форми запису першого начала термодинаміки для ідеального ґазу:

δQ = dU + pdV = C_VdT + = C_VdT + RT . (4.58)

Для адіабатного процесу δQ = 0 і рівняння (4.58) набуде форми:

(4.59)

Після інтеґрування рівняння (4.59) при умові, що C_V= const:

; (4.60)

Отримаємо

. (4.61)

З (4.56) , то , (4.62)

звідки

. (4.63)

г) З рівняння другої форми запису першого начала термодинаміки для ідеального ґазу:

. (4.64)

Для адіабатного процесу і рівняння (4.64) набуде форми:

. (4.65)

Після інтегрування рівняння (4.65) при умові, що С_р= const:

(4.66)

Отримаємо: . (4.67)

З (4.57) , то , (4.68)

звідки

. (4.69)