5.4.3. Многопродуктовая статическая модель управления запасами с ограничениями на емкость склада

Пусть P – площадь складского помещения для хранения n видов продукции, причем площадь, выделяемая для хранения единицы продукции i-го вида, равна P_i (i=1,..,n).

Вводя те же обозначения, что и в разделе 5.4.1, для каждого вида продукции, получаем многопродуктовую модель управления запасами с ограничением на емкость склада.

(5.12)

(5.13)

_i>0 (дефицит не допускается) (5.14),

где d_i – спрос на продукцию i-го вида в единицу времени; K_i – затраты на выполнение заказа; h_i – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени.

Задача (5.12)-(5.14) является задачей выпуклого программирования, так как F(₁,₂)является выпуклой функцией, а множество планов ЗВП (5.12-5.14) является выпуклым множеством в силу линейности ограничения (5.12).

Общее решение ЗВП (5.12)-(5.14) может быть найдено любым методом решения ЗВП.

В частности, для решения задачи (5.12)-(5.14) можно применить метод множителей Лагранжа, предварительно проверив выполнимость ограничения (5.13) для решения ЗУЗ без ограничений на емкость склада.

Действительно, используя формулу 4.4, получим

(5.15)

Если , то (5.15) является решением задачи (5.12)-(5.14), иначе ограничение (5.13) необходимо рассматривать как строгое, то есть

(5.13)

Пример 5.3. Пусть в задаче (4.12)-(4.14) n=1; K₁=10; d₁=2; h₁=0,3; P₁=1. Требуется определить оптимальный размер заказа для двух складов площадью P = 12 и P = 9 соответственно.

Решение. Для случая n = 1 задача имеет вид

По формуле 5.4 (без ограничения на емкость склада)

Далее, если P = 12, то P₁₁^* = 11,5<12, следовательно, ₁^* = 11,5 является решением задачи (5.12)-(5.14).

Если P = 9, то P₁₁^* = 11,5>9, следовательно, решением задачи

будет ₁^* = 9.

Пример 5.4. Рассмотрим задачу управления запасами для случая двух видов продукции (n = 2), исходные данные которой приведены в таблице.

Вид продукции	Ki, $	di, ед.	hi, $	Pi, м2
1	10	2	0,3	1
2	5	4	0,1	1

Общая площадь складского помещения составляет P = 25 кв.м. Требуется определить оптимальный размер заказа для каждой продукции.

Решение. Для случая n = 2 задача (5.12)-(5.14) имеет вид

или

(5.16)

Оптимальный размер заказа для каждой продукции без ограничения на емкость склада определяем по формуле 5.4.

Так как , то необходимо решать задачу (5.16), учитывая ограничение на емкость склада как строгое, то есть

(5.17)

Выразим _из 5.17 (__ и подставим в (5.16).

(5.18)

Решим задачу (5.18) приближенно с помощью методов одномерной оптимизации. Пусть приближенное значение ₁⁽⁰⁾ = 10 и h = 1.

Так как F(9) = 5,62; F(10) = 5,58; F(11) = 5,59 , то очевидно, что

9 < ₁^* < 11.

Примем, что ₁^* = 10, тогда

₂^* = 25 – 10 =15.

При этом

F(₁^*,₂^*) = 5,58.

Домашнее задание 12.

1. Фирма пополняет запас некоторого изделия, заказывая его в количестве, достаточном для покрытия одномесячного спроса. Годовой спрос на изделие равен 1500 ед. Каждое размещение заказа оценивается затратами в 20 долларов. Затраты на хранение одного изделия в течение месяца составляют 2 долл., задолженность не допускается.

– Определите оптимальный размер заказа и интервал времени между моментами размещения заказов.

– Определите различие в годовых затратах на хранение системы при оптимальной и применяемой стратегиях. Последняя предусматривает размещение заказов в размере месячной потребности ежемесячно в течение года.

2. Фирма хранит изделие, потребляемое с интенсивностью 50 ед. в день. Она несет расходы в 25 долл. при размещении каждого заказа. Хранение одного изделия в течение одной недели обходится в 70 долл. Определите оптимальное число заказов (округленное до ближайшего целого числа), которое фирма должна размещать ежегодно, предполагая, что фирма придерживается стратегии, не допускающей дефицита.

3. Фирма может производить изделие или покупать его. Если фирма сама выпускает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 долл. Интенсивность производства составляет 100 ед. в день. Если изделие закупается, то затраты на размещение каждого заказа равны 15 долл. Затраты на содержание изделия в запасе независимо от того, закупается оно или производится, равны 0,02 долл. В день. Потребление изделия предприятием оценивается в 26000 ед. в год. Предполагая, что фирма может работать без дефицита, определите, что выгоднее: закупать или производить изделие?

4. Интенсивность потребления изделия составляет 30 ед. в день. Удельные затраты на хранение равны 0,05 долл., а затраты на размещение заказа – 100 долл. Предполагая, что дефицит не допускается и затраты на закупку одного изделия равны 10 долл. при приобретении любого количества, не превышающего q = 300, и составляют 8 долл. в противном случае, найдите экономичный размер заказа. Каков он будет, если q = 500?

5. Изделие продается по цене 4 долл., но за партию размером более 150 изделий предоставляется 10%-ная скидка. Фирма, потребляющая 20 изделий в день, хочет решить, стоит ли воспользоваться скидкой. Затраты на размещение заказа на одну партию составляют 50 долл., затраты на хранение одного изделия 0,03 долл. в день. Целесообразно ли для фирмы воспользоваться скидкой?

6. В задаче 5 определите диапазон процентной скидки в цене изделия, в пределах которого предполагается, что скидка на размер партии в 150 изделий и более не дает никакой экономической выгоды фирме.

7. Предположим, что в детерминированной модели с мгновенным пополнением запаса при отсутствии дефицита и постоянной интенсивности спроса затраты на хранение единицы равны h₁, если ее количество меньше q, и равны h₂ при количестве продукции больше q, h₁>h₂. Найдите экономический размер заказа для этого случая.

8. K = 50 долл., h = 0,05 долл., d = 30 ед./день. Определите точку возобновления заказа, предполагая, что срок выполнения заказа равен (1) 14 дням; (2) 40 дням.

9. Четыре различных вида продукции хранятся в запасе с целью непрерывного использования в производственном процессе. Интенсивность спроса постоянна для всех четырех видов. Дефицит не допускается, и запас должен пополняться мгновенно после поступления заказа. Пусть D_i – количество требуемого i-го вида продукции (i = 1, 2, 3, 4) в год. Исходные данные определяются таблицей.

Вид продукции	Ki	di	hi	Di
1	100	10	0.1	10000
2	50	20	0.2	5000
3	90	5	0.2	7500
4	20	10	0.1	5000

Найдите экономические размеры заказов для четырех видов продукции, предполагая, что суммарное число заказов в год (для четырех видов продукции) не может превышать 200.

10. Решите задачу 9, предполагая, что существует предельный объем C=10000 долл., который можно вложить в запас в любой момент времени. Пусть c_i – стоимость единицы i-го вида продукции, где c_i = 10, 5, 10 и 10 при i = 1, 2, 3 и 4. Ограничение на число заказов в год не учитывается.