Вопрос 1. Событие. Пространство элементарных событий. Достоверное событие, невозможное событие. Совместные, несовместные события. Равновозможные события. Полная группа событий. Операции над событиями. Алгебра событий.

Под событием в теории вероятности понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Простейшие неразложимые результаты опыта, называются элементарными событиями. Вся совокупность элементарных событий образует пространство элементарных событий. Событие – любое конечное (счетное) подмножество пространства элементарных событий. Достоверное А=Ω, невозможное А=0= . События А и В называются несовместными, если в результате одного опыта они не могут произойти одновременно. В противном случае эти события совместны. Равновозможными называются события, если ни одно из них не имеет объективного преимущества перед другими. Несколько событий в одном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

1. А+В=А В

2. А*В=А В

3. = –А

4. А-В=А\В

5. = Ω\А

Множество σ называется алгеброй событий, если σ множество всех подмножеств множества ω, для которых выполняется следующие условия:

1. А, В σ А+В σ

2. А, В σ А*В σ

3. А σ σ

Вопрос 2. Аксиоматическое определение вероятности. Классическое, статистическое, геометрическое определение вероятности события.

Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий  Е  и каждому событию  А Е  поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события  А .

 Классическое определение вероятности. Пусть пространство элементарных событий  Е  состоит из  N  равновозможных элементарных событий, среди которых имеется  n  событий, благоприятствующих событию  А , тогда число Р ( А ) = n / m называется вероятностью события  А .

Статистическое определение вероятности. Пусть производится серия опытов (n), в результате которых событие А наступает m раз число - частота наступления события А, тогда под вероятностью события А будем понимать предел при Р(А)=

Геометрическое определение вероятности. Пусть в области G наудачу бросается точка, какова вероятность попадания точки в область g, лежащей в области G. По определению вероятность такого события Р(А)= .

Вопрос 3. Свойства вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимые события. Условная вероятность. Вероятность наступления хотя бы одного из событий.

1. ; , , по аксиоме сложения , по аксиоме

2.Р(Ø)=0; Ω= Ω Ø, Ω Ø=Ø по аксиоме сложения Р(Ω)= Р(Ω)+ Р(Ø) Р(Ø)=0

3.А В, если событие А влечет за собой событие В, то вероятность события А:Р(А) Р(В); А=А (В\А), А (А (В\А))=0 по аксиоме сложения Р(А)=Р(А)+Р(В\А) Р(В\А)=0 Р(А) Р(В)

4. 0 Р(А) 1

5.

6. А=В+С, В*С=0, Р(А)=Р(В)+Р(С)

Теорема сложения. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Предположим, что m случаев благоприятны событию А, а k событию В, тогда Р(А)=m\n; Р(В)=k\n. Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны А и В вместе. Следовательно, событию А+В благоприятны m+k случаев и Р(А+В)=( m+k)\n

Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии что первое имело место. Р(АВ)=Р(А)Р(В\А). предположим что событию А благоприятны m случаев, а В – k. Т.к.мы не предполагали события А и В несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и для А и для В одновременно. Пусть число таких случаев l, тогда Р(АВ)=l\n, Р(А)=m\n. Р(В\А) – условная в-ть события, в предположении что А имело место. Если известно что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m,которые благоприятствовали событию А. из них l случаев благоприятны событию В, следовательно Р(А\В)=l\m

Вопрос 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса (вероятности гипотез).

Предположим, что событие В может произойти с одним и только с одним из n несовместных событий А1, А2, …, Аn, образующих полную группу событий (Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1), т.е. В= , ВА_i и ВА_j несовместны при i≠j по т. Сложения Р(В)= , а по т. умножения Р(В)= - формула полной вероятности.

Пусть произошло событие В; А1, А2, …, Аn – гипотезы. Найдем вероятность гипотезы Р(А_i) при условии, что событие В произошло.

; . Используя формулу полной вероятности получим - формула Байеса.