41_3_Econometrics_Polyansky__Part_3

y =b0

+b1 x1

+b2 x2

+ ... +b p x p +ε

(3.1)

или в матричной форме

Y =X b+ε

,

(3.1')

где

Y =(y1

... yn )T

- матрица

наблюдаемых значений объ-

y2

-столбец

ясняемой переменной, (...)T

- операция транспонирования матрицы;

1

x

11

...

x

1 p

- матрица объясняющих переменных

X =

x21

x2 p

1

...

(матрица плана);

...

...

... ...

1

xn1

...

xnp

- матрица-столбец коэффициентов регрес-

b =(b0

b1

b2 ...

b p )T

ε =(ε 1

ε n ) T

сии;

ε 2

...

- матрица-столбец ошибок.

3.1.1. МНК для множественной регрессии

Оценкой этой модели по выборке является уравнение

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(3.2)

y =b0

+b1 x1 +b2 x2 +...+bp x p +e

или в матричной форме

(3.2')

Y = Xb +e

,

b =(b0

bp )

ˆ

где

b1

b2

...

- матрица-столбец оценок коэффициентов;

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

T

e =(e1

e2

... en )T

- матрица-столбец остатков.

Искомая матрица-столбец

b

МНК-оценок коэффициентов регрессии

определяется по формуле

ˆ

ˆ

T

−1

X

T

Y

.

(3.3)

b =(X

X )

Тесноту связи между набором факторов X 1 , X 2 ,..., X p

и исследу-

емым признаком

Y в линейной (а также и в нелинейной) множествен-

ной регрессии характеризует показатель множественной корреляции.

Его оценкой для конкретной выборки является

индекс множествен-

ной корреляции

(иначе

– совокупный индекс корреляции)

2

∑( yi

− ˆ

)

2

sост.

y i

R yx1 x2 ...x p

= 1 −

=

1 − ∑( yi

,

(3.5)

s 2y

−

)2

y

где s 2y - оценка общей дисперсии результативного признака;

sост2 . - оценка остаточной дисперсии в конкретной модели.

В частности, для линейной множественной регрессии этот пока-

затель часто называют

коэффициентом множественной корреляции

(иначе – совокупным коэффициентом корреляции), который можно

вычислить с использованием матриц, описанных выше, по формуле

R

=

QR

=

1 −

Qe

(3.6)

yx1 x2

...x p

Q

Q

где QR = bТ X ТY − n

2 ;

Qe

= Y ТY − bТ

X ТY ;

Q = Y ТY − n

2 .

y

y

Тесноту линейной связи между парами переменных в конкрет-

ной линейной множественной регрессии характеризует корреляцион-

ная матрица (матрица парных линейных коэффициентов корреляции).

Её можно оценить выборочной корреляционной матрицей, состоящей

из соответствующих выборочных парных линейных коэффициентов

корреляции

1

r

r

...

r

yx1

yx 2

yx p

Σr

rx

y

1

rx

x

...

rx

x

(3.7)

=

1

...

1

2

1

p ,

...

... ...

...

rx p x1

rx p x 2 ...

1

rx p y

Если в матрице

Σr вычеркнуть 1-й столбец и 1-ю строку (учиты-

вающие влияние факторов на результат), то получится выборочная

матрица парных линейных коэффициентов межфакторной корре-

ляции)

1

r

...

r

x1 x2

x1 x p

Σr

rx

x

1

...

rx

x

(3.8)

= 2

1

2

p

11

...

... ... ...

rx p x2

...

1

rx p x1

Здесь rxi x j =

xi x j −

i

j

- выборочный парный линейный коэффи-

x

x

s xi s x j

циент корреляции между произвольными i-ым и j-ым факторами

из p

учтенных в модели ( i =1,2,..., p , j =1,2,..., p ).

(3.9)

При i = j (т.е.

у элементов главной диагонали) имеем

rxi x j =1 .

R

= 1 −

Σr

,

(3.10)

Σr

yx1 x2 ...x p

где

Σr11

=det Σr11

11

Σr

=det Σr ,

- определители соответствующих матриц.

r

1

1 − Ryx2

1

x

...x

...x

p

=

−

2

j

,

(3.11)

− Ryx2

yx j .x1 x2

...x j−1 x j+1 ...x p

1

x

...x

j−1

x

j+1

...x

p

где Ryx2

1

2

1 x2

...x j ... x p

- множественный коэффициент детерминации всего

комплекса p факторов с результатом;

ryx1 .x2 =

ryx1

− ryx2 rx1 x2

;

(3.12)

( 1 − r 2

) ( 1 − r 2

)

yx2

x1 x2

ryx2 . x1

=

ryx2

− ryx1 rx1 x2

.

(3.13)

( 1 − r 2

) ( 1 − r 2

)

yx1

x1 x2

rx1 x2 . y

=

rx1 x2

− ryx1 ryx2

.

(3.14)

( 1 − r 2

) ( 1 − r 2

)

yx1

yx2

Оценки средних коэффициентов эластичности для множественной

линейной регрессии могут быть вычислены для каждого j -го из

p факто-

ров, учтенных в модели:

j

Эyx j

ˆ

x

=b j

.

(3.15)

y

Аналогично и оценки частных коэффициентов эластичности

ˆ

x j

Эyx j =b j

ˆy x j .x1 x2 ...x j −1 x j +1

...x p

.

(3.16)

Для оценки качества и значимости множественной линейной мо-

дели применяются те же показатели, что и описанные выше в разделе 1

для парной регрессии.

Однако есть и свои особенности.

Качество подгонки уравнения множественной линейной регрессии

оценивается коэффициентом множественной детерминации:

R2

= 1 −

Qe

.

(3.17)

yx1 x2 ...x p

Q

Использования только

R2

для множественной регрессии не до-

статочно, т.к. увеличение числа объясняющих переменных не всегда

ведёт к улучшению качества модели.

Поэтому для оценки

качества

множественной регрессионной модели

применяется также

скоррек-

тированный (нормализованный) коэффициент детерминации, учи-

тывающий количество факторов в модели ( p ):

ˆ

2

= 1 −

n − 1

2

.

(3.18)

R

n

− p −

1

( 1 − R

)

ется по критерию Фишера-Снедекора. Уравнение считается значимым на

уровне значимости α (обычно

α =0 ,05 ) при

k1

= p −1

и k2 =n − p степе-

нях свободы, если

F =

QR

n − p − 1

> Fα;k ;k

.

(3.19)

Qe

p

1

2

F =

R2

n − p − 1

.

(3.20)

− R2

p

1

Fx

=

Ryx2

1 ... x j ...x p

− Ryx2 1 ...x j−1 x j+1

...x p

n − p − 1

(3.21)

1 − R2

1

j

yx1 ...x j ...x p

Значимость каждого выборочного коэффициента регрессии bj

ˆ

(значит, и соответствующего

j -го фактора)

определяется также t-

3.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.

Задача 3.1

В таблице (рис.3.1) - данные о

заработной

плате

( y ),

возрасте

( x1 ), стаже работы по специально-

сти ( x

2 ) и средней производитель-

ности

труда

( x3 )

n =20 рабочих

коммерческого предприятия.

1)

Построить

(непосредствен-

ными расчетами по

формулам) мо-

дель множественной линейной ре-

грессии, описывающей зависимость

заработной

платы

от

остальных

вышеперечисленных факторов.

2)

Предварительно

визуально

(графически)

оценить качество по-

строенной модели.

3)

Оценить (непосредственны-

Рис. 3.1

ми расчетами) качество полученной

модели с помощью коэффициента детерминации R2 и средней относи-

тельной ошибки A .

4)

Спрогнозировать зарплату для поступающего на предприятие 35-

летнего рабочего, имеющего стаж работы по специальности 9,5 лет, если

за смену он может в среднем изготовить 17 изделий.

пределах может варь-

5)

Определить с 95%-ой надежностью, в каких

ироваться зарплата этого рабочего.

Решение.

Будем строить модель y =b0

+b1 x1

+b2 x2 +b3 x3 +ε .

Сформируем матрицы исходных данных задачи. Лучше это делать не

копированием из исходной таблицы,

а созданием формул-ссылок на её со-

ответствующие ячейки (см., например,

задачу 2.1).

В процессе решения

данной задачи могут быть довольно широкие матрицы (при больших n ).

Для облегчения восприятия изменяйте ширину столбцов и формат пред-

ставления чисел в ячейках матриц.

Рекомендуется выделять матрицы цве-

том и рамками для предотвращения непроизвольных ошибок. Матрицы Y и

X набраны в ячейках

I2:I21 и K2:N21

соответственно (рис. 3.2).

Матрица-столбец b оценок коэффициентов регрессии вычисляется

ˆ

=(X

ˆ

T

−1

X

T

Y .

b

X )

Расчетный лист назовём

«Расчеты». Результаты всех последующих

Рис. 3.2

Предварительно транспонируем матрицу плана X (размером 20x4) с

помощью функции

ТРАНСП.

Для этого предварительно выделим место

(ячейки

B23:U26)

под X T

(размером 4x20). Напомним,

что при работе с

матрицами в мастере функций перед итоговым нажатием кнопки «OK»

необходимо держать нажатыми кнопки клавиатуры Ctrl и

Shift.

Внимание на

С помощью МУМНОЖ в ячейках R2:U5 найдем X T X .

размер получаемой матрицы

(4х4)

и на нажатие кнопок

Ctrl и Shift.

матрицу

Обратную

(X T X )−1

(размером 4х4) вы-

числим в

ячейках

R7:U10

с

помощью функции МОБР.

Произведение

матриц

X T Y

вычислим

в

ячейках

R12:R15

с помощью функции

МУМНОЖ. Результат имеет

размерность 4х1.

матрица-

Искомая

Рис. 3.3

столбец

ˆ

T

−1

X

T

Y

b =(X

X )

3)

Прове-

рим вывод мно-

жественным

R 2 .

Удобнее

производить

вы-

числения

в

рас-

четной

таблице

без

использова-

ния

матриц.

Чтобы не

загро-

мождать исполь-

зовавшийся лист,

расчеты

выпол-

ним

на

отдель-

ном листе

(назо-

вем

его

«R2»).

Перенесем

ис-

ходные

данные

(ссылками).

Рас-

четы

выполним

аналогично

за-

Рис. 3.4

таты - на рис.3.4.

даче

1.2.

Резуль-

говорит о том, что в целом качество регрессии удо-

R 2 = 0,831

ˆ

−

t1−α;n− p−1

s yˆ

≤

y *o

≤

ˆ

+

t1−α;n− p−1

s yˆ .

yo

по

yo

приложения:

Критическая

t-статистика

таблице

2

o

o

t1−α;n− p−1

= 2 ,12 .

Значение

syˆ o

вычислим

по

формуле

= s

s

ˆyo

1 + X Т

( X Т

X )−1 X

0

.

0

17 ).

Матрица данных (ячейки D27:D30): X oТ =(1

35 9,5

Здесь s =

∑n

ei2

i =1

- выборочная среднеквадратическая ошибка.

n − p − 1

Вычисления продолжим на листе «R2» под таблицей (рис.3.5).

Обратная матрица

Рис. 3.5

( X Т X )−1

вычислена ранее в п.1 этой задачи.

Последовательно получим

X 0Т ( X Т X )−1

(в ячейках C32:F32 по

формуле

«=МУМНОЖ(F28:I28;Расчеты!R7:U10)»)

и

далее

-

X 0Т ( X Т X )−1 X 0

(в

ячейке

I32

по

формуле

«=МУМНОЖ(C32:F32;D27:D30)»).

Воспользуемся вычисленным выше в ячейке G23 значением ∑n

ei2

и вычислим в

ячейке

стандартную ошибку

по

i =1

B34

s

формуле

«=КОРЕНЬ(G23/16)». Зачение

s yˆ o вычислим рядом в

E34 по формуле

«=B34*КОРЕНЬ(1+I32)». Получим s = 31,032 ,

s yˆ o = 33,245 . В резуль-

тате диапазон возможных значений 228 ,58 ≤ y *o

≤ 369 ,54 .

Итак, зарплата поступающего на предприятие рабочего с 95%-ой

надежностью будет составлять 228,58…369,54

у.е.

Задача 3.2

При

налоговой

проверке

агентства

недвижимости про-

водится анализ

его

ценовой

политики,

для

чего

анализи-

руются

аналогич-

ные данные о ценах

на вторичном рын-

ке

недвижимости

города

Москвы

(рис. 3.6).

1)

Получить с

помощью

функции

ЛИНЕЙН

и

ин-

струмента

«Регрес-

сия»

Пакета ана-

лиза

множествен-

ную

линейную

ре-

грессионную

мо-

дель;

оценить каче-

ство

и значимость

модели

в

целом;

оценить значимость

и интерпретируе-