41_3_Econometrics_Polyansky__Part_3

Укажем

(выделим в таблице)

входной

интервал

переменой

y

-

«G6:G35»,

входной интервал переменой x - «C6:F35».

В поле

«Статисти-

ка»

обязательно должна быть указана логическая переменная

(т.е. вписано

слово) «истина».

Итоговое «ОК» в

диалоговом окне необходимо нажи-

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

мать при нажатых Ctrl+Shift (см. за-

b4

b3

b2

b1

b0

sb

sb

sb

sb

sb

дачу 1.4).

4

3

2

1

0

Неудобство (впрочем, не столь

R2

s

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

существенное

)

-

F

df

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

использования функ

ции

ЛИНЕЙН

состоит

в том, что

QR

Qe

#

/

#

/

#

/

выводятся только готовые числа без

Н Д

Н Д

Н Д

Рис.3.8

сопроводительных подписей. Поэто-

му на

рис.3.8

приведена схема вывода результатов расчета.

Здесь

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

ˆ

ˆ

оценки коэффициентов регрессии;

b0

b1

b2 , b3 , b4 -

sb0

,

sb1

,

sb2

, sb3 , sb4 - стандартные ошибки

(средние квадратические

отклонения) коэффициентов регрессии: sbj = s

[( X T X )−1 ] jj

;

R2 - коэффициент детерминации;

∑n

ei2

s - выборочная среднеквадратическая ошибка:

s =

i =1

;

n − p − 1

F - расчетное значение F-критерия Фишера-Снедекора;

df = n − p − 1 -

количество степеней свободы;

n

=

∑

ˆ

−

2

–

сумма квадратов, обусловленная

регрессией

QR

y )

( yi

i=1

(RSS);

Qe = ∑n

( yi − ˆyi

)2

i=1

– остаточная сум-

ма

квадратов

(ESS). На рис.3.9

приведены

ре-

Рис.

3.9

зультаты

расче-

тов данной задачи. После того, как данные выведены в ячейки итоговой

таблицы,

можно при необходимости сделать ссылки на них, сопроводить их

подписями, делать по ним расчеты.

В данной

задаче

оценки коэффициентов

регрессии

ˆ

b0 =16 ,090 ,

ˆ

ˆ

=

0 ,522 ,

ˆ

ˆ

Имеем множественную

b1 = −0 ,457 ,

b2

b3 =0 ,871,

b4 = −0 ,200 .

линейную регрессионную модель

ˆy = 16,090 − 0,457 x1 + 0,522 x2

+ 0,871x3

− 0,200 x4 .

Показатели качества и значимости модели в целом:

R 2

=0 ,842 (точность модели не высока, но в допустимых пределах);

F = 33,385 > F0 ,05 ;4 ; 30−4 −1

= F0 ,05 ;4 ; 25 = 2 ,76 (т.е. модель в целом значи-

ма на уровне α =0 ,05 );

sb

= 3,888 , sb =0 ,143 ,

sb =0 ,081, sb =0 ,1996 , sb =0 ,062 .

Для оценки значимости каждого коэффициента регрессии можно лег-

0

1

2

3

4

ко вычислить их t-статистики («=D39/D40» и т.д.):

tb

=

b1

=

− 0 ,457

= 3,1845 > t0 ,95 ;30 −4 −1 = t0 ,95 ;25 = 2 ,06 ,

sb

1

0 ,143

1

tb

=

b2

=

0 ,522

= 6 ,451 > t0 ,95 ;30 −4 −1

= t0 ,95 ;25

= 2,06 ;

2

sb2

0 ,081

0 ,871

b3

tb

=

=

= 4 ,363 > t0 ,95 ;30 −4 −1

= t0 ,95 ;25

= 2 ,06 ;

3

sb3

0 ,200

b4

tb

=

=

− 0 ,200

= 3,231 > t0 ,95 ;30 −4 −1 = t0 ,95 ;25 = 2 ,06

4

sb4

0 ,062

Все

коэффициенты регрессии оказались значимыми на выбранном

уровне значимости γ =0 ,95 .

Знаки коэффициентов регрессии экономически адекватны. А величи-

ны коэффициентов можно логически интерпретировать. Например, величи-

на b2 =0 ,522

означает, что каждый квадратный метр общей площади стоит

ˆ

цов. Если необходимые столбцы не соседние, их надо такими сделать путём

замены столбцов местами.

В данной задаче необходимо задать входной ин-

тервал X «C6:F35» в окне,

аналогичном изображённому на рис.1.30. Не за-

будьте поставить галочку в поле «Остатки» формы исходных данных ин-

струмента «Регрессия». Закажем вывод результатов вычислений на отдель-

ном листе. Напомним, что для этого в окне рис.1.30 переключатель "Пара-

метры вывода" должен стоять в положении "Новый рабочий лист". Сравни-

те полученные данные с вычисленными выше функцией ЛИНЕЙН.

Кроме того,

можно легко получить еще одну важную характеристику

качества модели

–

среднюю относительную ошибку A . Рядом с таблицей

вывода остатков

(в ячейках D28:D57 листа вывода результатов расчетов

Пакета анализа)

можно получить текущие относительные ошибки и вы-

числить их среднее арифметическое.

Введем в D28 формулу «=ABS(C28/'Множ. регрессия 3_2'!G6)», про-

тянем по D28:D57, а в D58 – « =СРЗНАЧ(D28:D57)».

В итоге имеем

=4 ,27% . Точность модели в пределах нормы.

A

Итак, анализ характеристик модели показывает, что построенная мо-

дель в целом достаточно точна и значима. Значимы и экономически интер-

претируемы все её коэффициенты. Однако коэффициент детерминации всё

же не слишком близок к 1. Возможно, не учтены (один или несколько) ка-

кие-либо достаточно важные факторы, существенно сказывающиеся на цене

подобных квартир.

Напомним,

что с изменением экономической ситуации модель может

потребовать пересмотра и уточнения.

2) Чтобы по полученному уравнению спрогнозировать цену на ука-

занную 1-комнатную квартиру, подставим её исходные данные ( x1 =5 ,7 ,

x2

=35 ,7 , x3 =8 ,5 , x4 =10 ) в полученное выше уравнение регрессии.

введя

Конечно, удобнее это сделать прямо под расчетной таблицей,

исходные данные в любые пустые клетки (здесь – в ячейки B47:B50)

и со-

проводив коротким комментарием. Расчетная формула в ячейке D47 следу-

ющая «=E39+D39*B47+C39*B48+B39*B49+A39*B50».

Итак, прогнозная цена квартиры

y = 16,090 − 0,457 5,7 + 0,522 35,7 + 0,871 8,5 − 0,200 10 = 37 ,514 $ тыс.

!

Замечания.

–

Дом кирпичный?

Ответ: да/нет (1/0).

И т.д.

–

Дом монолитный?

Ответ:

да/нет (1/0).

Однако

количество таких переменных, учитывающих один каче-

ственный признак (в данном случае – материал дома), должно быть на

1

меньше числа градаций качественного признака. В данном случае должно

быть 3

фиктивные переменные, т.к. материалов учитывается 4. В противном

случае в модели может наблюдаться мультиколлинеарность. 4-й признак

излишен, он автоматически учитывается, если ответы на первые 3 вопроса

отрицательны

(0). Словесный аналог: «Дом не кирпичный, не монолитный,

не панельный.

Значит, материал иной».

!

Замечание.

•

Подходить к определению числа градаций, необходимо очень ответ-

ственно. Например, деревянный щитовой многоэтажный дом – тоже

«иной», как

и, например, каменный дворец. Однако их простое механическое причисление к

одной категории может внести существенную неточность в расчеты, особенно,

если таких домов много. К тому же могут неожиданно выясниться новые матери-

алы домов…

Итак, введем фиктивные переменные

1, дом панельный

1,

дом кирпичный

1, дом монолитный

z11

=

нет

,

z12 =

нет

, z13 =

.

0,

0,

0, нет

Индексы переменным удобно присвоить двойные.

о материа-

Для участия в расчетах исходные данные таблицы рис.3.10

ле дома необходимо преобразовать в три колонки в соответствии со значе-

ниями этих трех фиктивных переменных. Например,

для квартиры из па-

нельного дома

z11 =0 , z12

=0 , z13

=1 .

данные в конец рас-

Для этого припишем

приведенные на рис.3.10

четной таблицы задачи 3.2.

Колонку «Материал дома»

перенесем вправо от

таблицы.

После ранее использовавшихся в задаче 3.2

столбцов

A,B,…,F

с

качественными переменными введём дополнительные столбцы G, H, I, оза-

главив их «К», «М», «П» для учета соответствующего материала дома.

Упорядочим всю таблицу по столбцу «Материал дома», чтобы было

удобно заполнять вновь введенные столбцы «К», «М», «П». Удобно сначала

проставить протягиванием во всех колонках

G,

H, I

только нули. Затем

опять протягиванием проставить поверх нулей "1"

в тех ячейках, в которых

это необходимо в соответствии с материалом дома. По окончании верните

таблицу к упорядоченности по номерам (столбец A) (рис.3.11).

б) Этажность дома и этаж квартиры.

На первый взгляд,

для учета этажности дома и этажа квартиры не тре-

буется вводить фиктивные переменные. Действительно, этажность дома и

этаж конкретной квартиры

- это числа. Такой подход, вероятно,

возможен.

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Пусть получена некая (пусть даже очень точная и значимая) модель

y = ... +... +с2 z2 +с3 z 3

+ε

( z

2 - этажность дома, z3 - этаж квартиры).

Значит,

при прочих равных условиях цена квартиры в

20-этажном доме

( z2 =20 )

отличается от цены аналогичной квартиры в

10-этажном доме

( z2 =10 ), даже если обе расположены, например, на 3-м этаже, что неверно.

Покупателю важен этаж своей квартиры, а не этажность всего дома.

Аналогично рассуждая,

получим выводы о существенном различии в

цене одинаковых квартир на разных этажах одного дома. Для покупателя,

как правило,

существенно важны не этажность дома и этаж квартиры, а (в

первую очередь) не расположена ли эта квартира на 1-м или последнем эта-

жах. А 10-й это этаж или 15-й

– уже не столь важно.

И поэтому приведенные ранее данные об этажности дома и этаже

квартиры надо преобразовывать, введя фиктивную переменную z2 :

1,

этаж не 1 − й и не последний

z2

=

этаж 1 − й или последний

.

0,

Введём в расчетную таблицу столбец J («Этаж»). Заполним его

вручную

по каждой квартире (подумайте,

можно ли ускорить этот про-

цесс). Итоговая расчетная таблица показана на рис.3.11.

Все старые столб-

цы этажности дома и этажа квартиры для сравнения можно оставить после

столбца

K (цен). Они на рисунке не приведены. Будем строить модель

y =b0

+b1 x1 +b2 x2 +b3

x3

+b4

x4 +c11 z11

+c12 z12 +c13

z13 +c2 z2 +ε .

Дальнейшие вычисления полностью аналогичны выполненным в за-

даче 3.2.

Выполним их с помощью инструмента «Регрессия» пакета анализа.

Заметим лишь, что в результатах пакета анализа переменные будут обозна-

чаться и нумероваться, как и ранее, по порядку следования столбцов во

входной матрице. Их нужно переименовать (вручную или функцией

ТРАНСП). Получена модель

yˆ = 15,545 - 0,440 x1 + 0,511 x2 + 0,853 x3 - 0,183 x4 +

+ 1,035 z11 + 0,482 z12 + 0,359 z13 + 0,428 z2 .

Показатели её качества и значимости в целом (сравните с задачей 3.2):

R 2

=0,845 (точность модели несколько повысилась);

F = 14,346 > F0 ,05 ;8 ; 30−8−1

= F0 ,05 ;8 ;21 = 2 ,42 (значима на α =0 ,05 );

tb1

= 2,6151 > t0 ,95 ;21

= 2 ,08

(коэффициент значим);

tb2

= 5,4761 > t0 ,95 ;21

= 2 ,08

(коэффициент значим);

tb3

= 3,2811 > t0 ,95 ;21

= 2,08

(коэффициент значим);

tb4

=1,7137 <t0 ,95 ;21

=2 ,08

(коэффициент незначим, но довольно

близок к порогу значимости).

Знаки коэффициентов регрессии экономически адекватны. Средняя