Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

41_1_Econometrics_Polyansky__Part_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

ГЛАВА 1. ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Парная линейная регрессионная модель с пространственной вы-

боркой – наиболее простой вид эконометрической модели, в которой рас-

сматривается зависимость объясняемой переменной Y только от одной объясняющей переменной X (поэтому модель называется парной), причём эта зависимость линейная. Спецификация модели (0.3) в этом случае

y =a +bx +ε .

				(1.1)
Пусть имеем результаты экс-
перимента -	выборку объемом			n из
генеральной совокупности,			т.е. n
пар значений	( xi , yi ) (рис.1.1).
Задача:	найти для них уравне-
ние прямой линии, от которой разброс
наблюдаемых значений в целом				ми-
нимален. Как будет показано ниже,
для данной	выборки	уравнение			Рис. 1.1
ˆy =aˆ +bx	может быть			.
ˆ		получено

Однако в различных выборках даже из одной генеральной совокупности и
даже одного объема n набор пар		( xi			, yi		), как правило, неодинаков. В ре-
зультате несколько различны	a	и	b			и,	соответственно,				несколько иные
	ˆ		ˆ
оценки ошибок – остатки ei .			в конкретной серии наблюдений имеем
	Т.о.
конкретное уравнение	=		+			=		+ ˆ	+
y		ˆ		e			ˆ			e .	(1.1')
		y					a	bx

1.1.1. Метод наименьших квадратов

Наиболее часто для нахождения оценок коэффициентов регрессии применяется (например, [16]) метод наименьших квадратов (МНК), ре-

шающий задачу ∑n ( yi − ˆyi )2 → min . Характеристики оценок, получае-

i =1

мых по данному методу, следуют из теоремы Гаусса-Маркова.

! Теорема Гаусса-Маркова.

В предположениях (0.3)…(0.8) для парной линейной регрессионной мо- дели (1.1) с пространственной выборкой оценки коэффициентов регрессии aˆ и ˆ , полученные методом наименьших квадратов, имеют наименьшую

дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок.

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Общий смысл: оценки коэффициентов линейной регрессии aˆ и ˆ , по- b

лученные методом наименьших квадратов, являются в определенном смыс- ле «наилучшими» из всех оценок.

На практике невозможно определить сами ошибки ε i , в расчетах име-

ем дело с их оценками, называемыми остатками ei , полученными для дан- ной конкретной выборки. Задача состоит в получении таких оценок коэф-

фициентов уравнения регрессии a и b , чтобы ∑ei					min .
ˆ	ˆ	n	2	→

i =1

Остатки представляют собой взятые с соответствующим знаком раз- ности экспериментальных yi и оценочных ˆyi («практических» и «теорети- ческих») значений объясняемой переменной. Имеем функционал

F = ∑n

ei 2 = ∑n

( yi − yˆ i )2 .

i =1

bx , то F фактически яв-

Т.к. ищется уравнение прямой линии y

= ˆ

+ ˆ

ляется функцией двух переменных - оценок коэффициентов a и b :

))

F ( aˆ , b ) = ∑( yi − ( aˆ + bxi

i =1

Как известно [13], необходимое условие экстремума гладкой функции

двух переменных - одновременное равенство

0 ее частных производных:

( aˆ

= 0,

, b )

( aˆ

= 0.

, b )

В частности, для данного функционала имеем:

) =0,

∑2( yi − aˆ − bxi )( −1 ) =0,

∑( yi

− aˆ − bxi

ni =1

i =1

)( − xi ) =0;

∑( xi yi − axˆ

=0;

∑2( yi − aˆ − bxi

i − bxi )

i =1

∑yi

− ∑aˆ − b∑xi =0,

i =1

n aˆ

+ b∑xi = ∑yi ,

ˆ n

i =1

=0;

aˆ ∑xi

i =1

∑xi yi

−aˆ ∑xi

− b∑xi

+ b∑xi

= ∑xi yi .

i =1

Т.к.

∑n

xi ,

∑n

yi ,

∑n

xi2 ,

∑n

xi yi

для заданной выборки являются по

i =1

сути числами, то имеем систему 2-х линейных алгебраических уравнений с

двумя неизвестными a

и b , решить которую можно любым из известных

Гаусса, Крамера, обратной матрицы, …).

методов (подстановкой,

Удобно получить и пользоваться готовыми формулами для вычисле-

ния коэффициентов регрессии.

Введем средние арифметические

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

∑n

xi2

∑n

xi yi

x 2 =

i=1

i =1

и выразим из 1-го уравнения

∑ y i − b

∑ x i

aˆ

i =1

В результате имеем

aˆ

= y − bx ,

ˆ n

(

− bx

)∑xi

+ b∑xi

= ∑xi yi .

i =1

Разделив обе части 2-го уравнения на n , имеем

aˆ = y − bx ,

∑xi

∑xi2

∑xi yi

aˆ = y

− bx ,

i =1

x y − bx

+ b x

= xy.

;

( y − bx )

+ b

Итоговые формулы для оценок коэффициентов регрессии:

xy -

− ˆ

(1.2)

x 2

1.1.2. Характеристики парных линейных регрессий

Для оценки тесноты линейной связи между значениями СВ X и Y

в конкретной выборке используется выборочный

линейный коэффициент

парной корреляции:

r =

x y −

(1.3)

sx sx

где sx =

- выборочные среднеквадратичные от-

− x

, s y

= y

− y

клонения СВ

Y .

Возможный диапазон изменений выборочного линейного коэффици-

ента парной корреляции:

− 1 ≤ r ≤ 1

. Чем ближе по модулю

к 1, тем тес-

нее линейная связь между переменными в выборке.

При

r =±1 имеем

функциональную зависимость

(рис.1.2-1.3). Равенство

коэффициента r

означает полное отсутствие корреляционной связи

(рис.1.4-1.5).

Замечания.

•

Близость абсолютной величины r к 0 ещё не означает отсутствие любой

связи между переменными,

а лишь отсутствие именно линейной связи. Кроме ли-

нейной может наблюдаться нелинейная связь

(рис.1.5).

•

Знак r совпадает со знаком оценки коэффициента регрессии b .

Качество

конкретного

уравнения линейной регрессии

оценивают ко-

эффициентом детерминации:

R2 =

= 1 -

(1.4)

где yi

ˆyi

Qr =∑n ( ˆyi - y )2

i=1

Qe =∑n ( yi - ˆyi )2

i=1

Q=∑n ( yi - y )2

i=1

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

–i- ое наблюдаемое значение СВ Y;

–i- ое оценочное значение СВ Y;

–среднее арифметическое значение СВ Y;

–сумма квадратов, обусловленная регрессией

(RSS – regression sum of squares [1]);

–остаточная сумма квадратов (ESS – error sum of squares);

–общая сумма квадратов (TSS – total sum of squares).

Рис.1.2. Положительная функцио-	Рис.1.3. Отрицательная
нальная зависимость.	функциональная зависимость.

Рис.1.4. Полное отсутствие связи	Рис.1.5. Отсутствует линейная связь,
между переменными.	но присутствует нелинейная.

Смысл: R2 показывает долю вариации переменной Y, обуслов- ленную вариацией объясняющей переменной X .

Теоретически возможный диапазон 0 ≤ R2 ≤1 . Чем ближе R2 к 1, тем качество модели выше, тем ближе в совокупности линия регрес- сии к экспериментальным точкам (рис.1.6).

Обычно считаются практически допустимыми к применению модели с R 2 > 0 ,8 .

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

!	Замечания.	отметки
•	Показанные на рис.1.6		Q ,
Qe и Qr надо понимать условно, т.е.			как
изображение соответствующих		расстояний,
квадраты которых суммируются.
•	Коэффициент R 2 применяется для
оценки качества линейных и нелинейных ре-
грессий (рис.1.7-1.8).
Даже при полной функциональной зависимо-
сти между переменными (т.е. при r = ±1)
прямая линия, полученная каким-либо иным
методом, кроме МНК, может проходить не				Рис. 1.6
точно по точкам. При этом коэффициент де-
терминации может не равняться		1 (рис.1.9).
•	R2 =0 означает, что любая из проведённых прямых «одинаково плоха»
для полученных исходных данных (рис.1.10).
	• Если уравнение парной линейной регрессии получено методом
наименьших квадратов, то			R 2 = r 2	(1.5).

Рис.1.7 Абсолютно точная подгонка	Рис.1.8 Абсолютно точная
по прямой линии.	подгонка по параболе.

Рис.1.9 Несмотря на полную функцио- нальную связь между переменными, прямая, полученная не МНК, может проходить не строго по точкам.

Рис.1.10 Любая из проведенных прямых «одинаково плоха»

( R 2 =0 ).

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Кроме того, качество уравнения линейной регрессии можно

оценить с помощью средней относительной ошибки аппроксимации

− ˆ

A =

∑Ai =

∑

100% =

∑

y i

100%

(1.6)

y i

n i =1

i =1

Практически допустимой

обычно считают

<8...10%.

Замечание.

На практике необходимо оценивать точность модели как коэффициентом детер-

минации, так и средней относительной ошибкой. При очень малых y

даже небольшой

разброс наблюдаемых значений от линии регрессии (т.е. при

R → 1 )

может привести к

существенным относительным ошибкам. И наоборот, при очень больших y малые

еще не означают, что точки легли достаточно близко к линии регрессии.

Силу связи между объясняемой и объясняющей переменными в ли-

нейной регрессии характеризует средний коэффициент эластичности

Э =

∑n

Эi

= b

(1.7)

n i =1

где Эi = lim

- местный коэффициент

= lim

= y'

= b

x→0

эластичности.

Смысл:

показывает, на сколько %

в среднем по совокупности из-

менится y от своего среднего значения при изменении x в среднем по со-

вокупности на

1% от своего среднего значения.

Значимость (надёжность) уравнения (модели) парной линей-

ной регрессии

в целом

определяет F-критерий Фишера-Снедекора.

Оценка значимости модели в целом необходима для определения сте-

пени соответствия модели,

полученной по конкретной ограниченной

выборке, реальным закономерностям генеральной совокупности. До-

статочно ли имеющегося количества наблюдений при учтенном

числе

факторов для построения адекватной модели?

Например, идеально

точная ( R 2 =1 )

модель парной линейной регрессии, полученная по 2-м

наблюдениям

( n =2 ) явно

ненадежна

требует большего

числа

наблюдений.

А достаточно ли

3, 4, 5 наблюдений? Где та грань, когда

наблюдений достаточно?

линейной регрессии значимо на уровне α

Уравнение парной

(обычно принимают α =0 ,05 [9]), если

F =

Qr (n−2)

(1.8)

Q−Qr

α;1;n−2

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Критическое значение Fα;1;n−2 определяется по специальным ста- тистическим таблицам (табл.4 приложений).

В парной линейной регрессии F-статистика связана с коэффици-

ентом детерминации соотношением

F =

( n − 2 )

(1.9)

1 − R2

Значимость оценок

линейной регрессии a и b

коэффициентов

определяется t-статистикой Стьюдента, например

t bˆ =

∑( x i -

(1.10)

m ˆ

i =1

где mbˆ =

∑n

( xi - x )2

- стандартная ошибка b ;

i =1

∑n

( ˆyi − yi )2

∑n

ei2

s =

i =1

- выборочное среднеквадратичное от-

n − 2

клонение остатков, иначе - стандартная ошибка

;

(1.11)

s2 - выборочная остаточная дисперсия (оценка дисперсии ошибок).

Если

t bˆ

> t1-α;n -2

, то оценка коэффициента регрессии b

значима

на уровне α. Для парной линейной регрессии справедливо соотноше-

ние tbˆ =

F .

Этот показатель характеризует степень необходимости присут-

ствия в модели свободного члена a

и конкретного фактора, отражае-

мого коэффициентом

есть эконометрические модели с

b . Например,

отсутствующим (=0) свободным членом a . Не всегда необходимость

его отсутствия может быть оправдано экономическими соображения-

ми, а может определяться ,

например, t-статистикой Стьюдента.

Для парной линейной модели этот показатель не столь актуален.

Особо важен он во множественных моделях (см. п.3.1.3).

Значимость коэффициента корреляции

определяется t-

статистикой Стьюдента

t r

n − 2

(1.12)

Если

> t1-α;n -2

1 − r 2

t r

, то коэффициент корреляции r значим на вы-

бранном уровне значимости α. Справедливо соотношение tr =

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

1.1.3. Прогнозирование с помощью парных линейных регрессий

Прогнозирование с помощью парной линейной регрессии может

осуществляться путем подстановки значения объясняющей перемен-

ной в полученное уравнение регрессии. Например, получено регресси-

онное уравнение,

связывающее цену на товар ( X )

и количество про-

данного товара (Y ) y = 320,73 − 1,04 x .

Для определения объема продаж

по цене

x0 =120 руб. необходимо подставить x0 в уравнение.

Прогноз

продаж:

y(120) = 320,73−1,04 120= 195,9 кг.

Конечно, такой прогноз отвечает на вопрос, каково будет среднее

значение результата.

Однако зачастую необходимо знать диапазон возможных значе-

ний результатов с заданной надежностью.

Ниже приводятся формулы,

позволяющие производить интер-

вальное

(а не точечное, как по уравнению регрессии) прогнозирование.

Более подробно об интервальной оценке по регрессионному уравне-

нию см.

далее в задаче

1.3.

Доверительный интервал для индивидуального значения xo :

−

t1−α;n−2 s yˆ

≤

t1−α;n−2 s yˆ

(1.13)

(

( x o −

) 2

)

дисперсия индивидуальных

где

s 2ˆ

= s 2

1 +

–

∑n

( x i −

) 2

значений yo ;

i =1

t1-α;n- 2 – t- критерий Стьюдента (табл.2 приложений).

Доверительный интервал для условного математического ожидания объясняемой переменной:

≤

M x ( y )

≤ ˆ

t1-α;n-2 syˆ

(1.14)

y - t1-α;n-2 sˆy

(

( xо -

) –

где

дисперсия групповых средних.

ˆy

= s

+ ∑( xi -

Доверительный интервал для коэффициента регрессии:

b − t1−α;n−2

≤

b ≤

b + t1−α;n−2

∑n

( xi −

∑n

( xi −

i=1

Доверительный интервал для дисперсии:

n s2

≤ σ 2 ≤

n s

χα2

χ 2 α

;n-2

2; n-2

1- 2

(1.15)

(1.16)

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

1.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.
1.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.
Задача 1.1
Имеются данные о цене на некото-
рый товар (X, руб.) и соответствующем
ежедневном спросе на него (Y, кг)	у
n=10 продавцов. Задания выполнить
расчетами (по формулам).
1) Построить поле корреляции (то-
чечный график экспериментальных
значений) и сделать предваритель-
ное эмпирическое предположение о
характере связи между Y и X.
2) Оценить тесноту линейной связи
между СВ Y и X с помощью коэф-
фициента корреляции r (согласу-
ется ли оно с предварительным
ется ли оно с предварительным			Рис.	1.11
предположением?).			Рис.	1.11
3) Получить МНК-уравнение парной линейной регрессии Y на X.
4) Получить прогнозные (теоретические)			значения объясняемой пере-
менной Y для заданных значений	X;	пользуясь ими,		нанести линию

полученной линейной регрессии на одну диаграмму с точечным гра- фиком экспериментальных данных; визуально убедиться в качестве построенной модели.

Решение.

Решать будем с использованием табличного процессора Microsoft Excel (версия любая). Заготовим таблицу исходных данных (рис.1.11).

!Замечания.

•Как правило, буквенные подписи в ячейках – лишь комментарии, способствую- щие пониманию задачи и не имеющие прямого отношения к ее решению.

•Удобно в строках таблицы записывать данные, касающиеся конкретного i-го наблюдения. При необходимости строки могут быть добавлены

•Для использования в расчетах каких-либо данных (коэффициентов, характери- стик и т.п.), которые могут изменяться, исходя из условий задачи, нужно предусмотреть ячейки для их ввода. Это лучше, чем включение соответствующих чисел в формулы, т.к. делает программу универсальной и понимаемой. Например, в данной задаче в ячейку A14 можно ввести строку-комментарий «n=», а в ячейку B14 – объем выборки - число 10. Впрочем, те, кто знаком с функциями Microsoft Excel, могут это значение вычислить как количество непустых строк в таблице данных.

•Для облегчения восприятия вводимого алгоритма и снижения вероятности ошибки рекомендуется выделять необходимые ячейки рамкой, цветом, шрифтом, сопро- вождать комментариями, группировать по логике решения и т.п.

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

1) Эконометрические исследования рекомендуется начинать с по- строения поля корреляции для визуальной оценки исходных данных.

Для этого воспользуемся Мастером диаграмм, входящим в состав Microsoft Excel. В настоящей работе не ставится цель обучить работе с ним,

а лишь рассматриваются наиболее общие вопросы построения графиков для облегчения исследований.


!	Замечания.
	•	Важно выбрать необходимый тип диаграммы. Чаще всего в дальнейшем мы
будем использовать типы диаграмм «Точечная» и «График». Они имеют отличия:
	-	В диаграмме типа	«График» не важны числовые значения аргумента. Точки
просто располагаются по порядку через равные промежутки по оси OX и могут быть во-
обще не числами, а произвольными строками-подписями (в т.ч. и числовыми).
	-	Для построения диаграммы «Точечная» требуется ввести диапазоны ячеек как
переменной Y, так и X. И точки располагаются в масштабе не только по OY, но и по OX.
	-	Оба типа диаграмм допускают соединение точек линиями, рисование маркеров
и т.п. Для этого достаточно выбрать соответствующий вид диаграммы в пределах своего
типа (рис.1.12) или уже после построения диаграммы дважды щелкнуть на линии графи-
ка левой кнопкой мышки и установить соответствующие параметры в раскрывшемся
окне диалога.
	•	При построении графика данные необходимо упорядочивать по возрастанию X
(меню «Данные – Сортировка»). Для этого надо выделить всю таблицу исходных данных
(вместе с шапкой) и выбрать меню «Данные – Сортировка». Внимание! Если выделить
лишь нужный столбец, то только он и будет упорядочен. При этом может потеряться со-
ответствие между переменными X и Y в столбцах таблицы (тогда можно отменить сор-
тировку кнопкой отката			на панели инструментов). Сортировать таблицы по столбцу

можно и с помощью кнопки , встав на соответствующий столбец.

Итак, упорядочим данные по возрастанию X, а затем вызовем Мастер

диаграмм, щелкнув левой кнопкой мышки на кнопку панели инстру- ментов.

Т.к. исходные значения объясняемой переменной X произвольны, не обязательно следующие через равные промежутки, то выберем тип «Точеч- ная» (в котором предусмотрена шкала оси X). При изображении графика экспериментальных данных точки принято (и это логично) рисовать марке- рами (лучше всего кружками) и не соединять между собой линиями. Поэто- му выберем 1-й вид графика (рис.1.12) и кнопку «Далее».

В следующем окне откроем закладку «Ряд» (рис.1.13). На одной диа- грамме может быть изображено несколько графиков (в терминологии руси- фицированного Microsoft Excel - рядов). Введем первый из них, щелкнув на кнопку «Добавить». Укажем источник исходных данных для графика, т.е. диапазоны ячеек с переменными X и Y. Для этого щелкнем указателем на поле ввода «Значения X» и выделим мышкой диапазон ячеек (столбец) C2:C11. Обратите внимание, что при этом в активном поле ввода автомати- чески запишется строка «=Лист1!$C$2:$C$11».

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.09.201946.79 Кб104,5,6,47,62.docx
#
10.11.201934.63 Кб104.docx
#
27.10.2018153.39 Кб740-50_билеты.docx
#
14.04.2019818.44 Кб12401196_C9AEF_voprosy_k_ekzamenu_po_teorii_veroy....docx
#
05.06.2015279.58 Кб4841_0_Econometrics_Polyansky__Part_0.pdf
#
05.06.20151.7 Mб3441_1_Econometrics_Polyansky__Part_1.pdf
#
05.06.20151.55 Mб2741_2_Econometrics_Polyansky__Part_2.pdf
#
05.06.20151.08 Mб2741_3_Econometrics_Polyansky__Part_3.pdf
#
05.06.20151.44 Mб2541_4_Econometrics_Polyansky__Part_4.pdf
#
05.06.20151.45 Mб2341_5_Econometrics_Polyansky__Part_5.pdf
#
05.06.2015676.83 Кб2341_6_Econometrics_Polyansky__Part_6.pdf