Вопрос 16. Закон распределения функции от случайной величины. Нахождение плотности вероятности, математического ожидания, дисперсии.

Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) где F(x) - интегральная функция; свойства:1. ;

2. ,3. , 4. .

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b]. Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Задать СВ можно с помощью функции распределения. F(х)=Р(Х<х). функцией распределения СВ Х назю функция F(х), выражающего для каждого вероятность того, что СВ Х примет какое-нибудь значение, меньше х. св-ва: 1. это неубывающая функция, в границах от 0 до 1 (включительно). 2. вероятность того, что СВ попадет в интервал Р(х1≤Х≤х2)= F(х2)- F(х1)=приращению функции распределения. 3. (для непрерывной СВ) х2-х1=∆х (приращение аргумента) ∆х→0, ∆ F→0, Р(х2=х1)=0. если СВ непрерывна, то вероятность того, что она примет конкретное значение=0. 4. СВ дискретная, F(х) постоянная на промежутках где нет значений СВ, а в точках, где есть знач. Функция имеет скачки и величина скачков=вероятности, что СВ примет это значение.

Вопрос 17. Система двух случайных величин. Закон распределения двумерной дсв. Законы распределения составляющих. Условные законы распределения составляющих двумерной дсв.

О чень часто результат испытания характеризуются не одной СВ, а некоторой системой СВ Х1,Х2,…Хn, которую называют также многомерной (n-мерной)

yj хi	y1	…	yj	…	ym	∑ j=1
x1	P11	…	p1j	…	P1m	P1
…	…	…	…	…	…	…
xi	Pi1	…	pij	…	pim	pi
…	…	…	…	…	…	…
xn	Pn1	…	pnj	…	pnm	pn
m ∑	P1	…	pj	…	pm	1

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел (xi, yj) и их вероятностей P(xi, yj).

y/x	x1	x2	…	xn
y1	p(x1, y1)	p(x2, y1)	…	p(xn, y1)
y2	p(x1, y2)	p(x2, y2)	…	p(xn, y2)
…	…	…	…	…
ym	p(x1, ym)	p(x2, ym)	…	p(xn, ym)

З ная закон распределения двумерной дискретной случ величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Например: События (X=x1, Y=y1)…(X=x1, Y=Ym) – несовместны, поэтому вероятность P(x1) того, что Х примет значение х1, по теореме сложения такова: P(x1)=p(x1, y1)+…+p(x1, ym). Т.о. вероятность того, что Х примет значение xi, равна сумме вероятностей «столбца хi». Аналогично, сложив «строки Yj», получим вероятность P(Y=yj).

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения. Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

, Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.