5.4.2. Однопродуктовая статическая модель с «разрывами» цен

В модели управления запасами (4.3) не учитываются затраты на приобретение товаров (пополнение). Это возможно, если цена единицы продукции не зависит от размеров закупаемой партии. Обычно цена зависит от размера закупаемой партии (оптовые скидки).

Предположим в условиях задачи управления запасами, изложенной в 4.4.1., что цена единицы продукции равна

(5.7)

где C₁>C₂, q – размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка. Тогда суммарные затраты в единицу времени на оформление, приобретение заказа и хранение запаса будут иметь вид (4.8).

Задача управления запасами будет иметь вид

(5.8)

(5.9)

Так как функции F₁() и F₂() отличаются на постоянную величину, не зависящую от , то они достигают минимального значения в одной и той же точке, определяемой формулой:

Рис. 5.11а Рис. 5.11б

Рис.5.11в

Решение задачи (4.9) – * будет зависеть от соотношения значений q, *_min и q₁, где q₁ – решение уравнения

F₁(*_min) = F₂(q₁); q₁>*_min (5.10)

и определяется следующим образом:

(5.11)

Решение задачи (5.5) приведено на рис. 5.11 (а, б, в).

Пример 5.2. Пусть в задаче управления запасами из примера 5.1. C₁ = 2 рубля, C₂ = 1 рубль. Требуется определить оптимальный размер заказа, в случае если q – размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка, может принимать три значения: q⁽¹⁾=2500 ед.; q⁽²⁾=1800 ед. и q⁽³⁾=7500 ед.

Решение. Так как *_min = 2000 ед. (см. пример 5.1) и 1800 = q⁽²⁾ < *_min = 2000, то имеем случай q = q⁽²⁾=1800; *=2000 (сл. а)).

Если q равно q⁽¹⁾ или q⁽³⁾, то *_min<q⁽¹⁾ и *_min<q⁽³⁾ и для определения* необходимо решить уравнение (4.10).

Имеем

следовательно, уравнение (4.10) имеет вид

q₁²-810³q₁+410⁶=0.

Его решения

q₁^(1,2)=(412)*10³=(43,46)*10³.

Нас интересует значение q₁>*_min , т.е.

q₁=7,36*10³=7360 единиц.

Итак, если q = q⁽¹⁾ = 2500 < q₁ (случай ‘б’), то

* = q = 2500,

если q = q⁽³⁾ = 7500 единиц (случай ‘в’), то

* = *_min = 2000 единиц.

Домашнее задание 11.

1. Объем продаж некоторого магазина составляет 500 упаковок пакетного супа в год. Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена покупки одного пакета равна 2 ф. ст. За один заказ владелец магазина должен заплатить 10 ф. ст. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней (при 6-дневной рабочей неделе). По оценкам специалистов, издержки хранения составляют 20% среднегодовой стоимости запасов. Сколько пакетов должен заказывать владелец магазина каждый раз, если его цель состоит в минимизации общей стоимости запасов? Предположим, что магазин работает 300 дней в году, определим, с какой частотой следует осуществлять подачу заказов и уровень повторного заказа.

2. Компания, производящая изделия из керамики, выпускает несколько видов кофейников. Производственный процесс организован по принципу выпуска партий кофейников общим объемом 500 штук в неделю. Спрос на наиболее популярную модель, которую мы обозначим через X, составляет 2500 изделий в год и равномерно распределяется в течение года. Вне зависимости от того, в какой момент времени возникает необходимость в производстве партии кофейников модели X, стоимость производственного процесса составляет 200 ф. ст. По оценкам специалистов компании стоимость хранения кофейников составляет 1,50 ф. ст. за единицу.

Какова должна быть партия кофейников, чтобы затраты на производство и хранение были минимальными? Как часто следует возобновлять производственный цикл и какова его длительность? Предполагается, что в году 50 рабочих недель.

3. Компания с ограниченной ответственностью «Dekkers» занимается розничной продажей электротоваров. Одним из видов продукции являются калькуляторы. Спрос на них составляет 25 калькуляторов в неделю, причем его величина равномерно распределяется в течение недели. Компания производит закупку калькуляторов по 9 ф. ст. за единицу. Стоимость подачи одного заказа составляет 15 ф. ст., а издержки хранения – 50 пенсов за единицу среднего размера запаса в течение года плюс 15% среднегодовой стоимости запасов. Предполагается, что в году 50 недель. Требуется:

1. Найти оптимальный размер заказа.

2. В настоящее время администрация «Dekkers» заказывает калькуляторы партиями в 300 штук. Какой будет величина экономии, если заказы будут подаваться в соответствии с размером, найденным в п.1?

3. Если бы стоимость подачи одного заказа снизилась до 5 ф. ст., каким образом администрация компании изменила бы решение, принятое в п.1?

4. Некоторой фирме необходимо иметь в своем штате 1000 инженеров, темп увольнения которых с работы является постоянным и составляет 150 человек в год. Перед тем как приступить к работе, вновь принятые инженеры объединяются в группы и проходят обучение на специальных курсах, организуемых компанией. Проведение каждого цикла обучения обходится компании в 25000 ф. ст. Если нет возможности предоставить инженерам работу немедленно, то компания теряет 500 ф. ст. на человека в месяц. Требуется:

1. Определить, сколько инженеров следует принимать на каждый курс обучения?

2. С какой частотой следует организовывать подобные курсы? Каково годовое значение общей переменной стоимости обучения инженеров?

3. Как повлияет ограничение количества инженеров, обучающихся в течение одного цикла, до 25 человек на решение, полученное в п. 2?

5. Компания «Systems» – крупная консалтинговая фирма по компьютерным системам в бизнесе. Фирме необходимо иметь диски под системные программы. Покупка дисков осуществляется у внешнего поставщика и, как было оценено, в ближайшем будущем использование дисков составит 20000 штук в год. Стоимость подачи одного заказа на партию дисков равна 32 ф. ст. По оценкам специалистов фирмы годовые издержки хранения одного диска составляют 1% его стоимости. Стоимость каждого диска равна 0,80 ф. ст. Предполагается, что коэффициент использования дисков является постоянным; отсутствие запасов недопустимо.

Требуется:

1. Определить оптимальный размер одного заказа и количество заказов, которое следует подавать в течение года.

2. Найти соответствующее значение годовой стоимости запасов.

3. Предположим, что оценка спроса оказалась заниженной, и фактическое значение спроса составило 24200 дисков в год. Как при этом условии повлияет сохранение размера заказа, найденного в п.1 и по-прежнему удовлетворяющего спрос, на решение задачи по сравнению с использованием нового оптимального значения уровня заказа?

4. Воспользовавшись результатами п.З, сформулируйте выводы о чувствительности данной модели к изменениям спроса.

6. Вернемся к задаче 1., в которой рассматривалась покупка владельцем магазина пакетных супов. Закупка производилась партиями по 158 упаковок по 2 ф. ст. за единицу. В настоящее время поставщик предоставляет следующие скидки на закупочные цены:

Размер заказа	Скидка, %	Цена за упаковку, ф.ст.
0-199	0	2,00
200-499	2	1.96
500 и более	4	1,92

Следует ли владельцу магазина воспользоваться одной из скидок?

7. [8.,9.] На некотором станке производятся детали в количестве 2000 единиц в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке производительностью 500 единиц в месяц; оставшиеся детали образуют запас. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 20% средней стоимости запасов в год, Стоимость производства одной детали равна 2,50 ф. ст. Стоимость организации одного производственного цикла составляет 1000 ф. ст.

7. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке, и с какой частотой следует организовывать циклы для производства этих деталей?

8. Если бы можно было снизить издержки производства до 500 ф. ст., каков был бы ответ на предыдущий вопрос ?

9. Как изменился бы ответ на вопрос из задания 7, если бы произошло дальнейшее снижение стоимости производства до 250 ф. ст.?

10. Компания «Greens Ltd» – крупный универмаг по продаже электронной и аудиоаппаратуры. Одним из наиболее популярных товаров является стереоплейер со встроенным радиоприемником. Спрос на эту продукцию, равный 2000 единиц, равномерно распределяется в течение года. Закупка плейеров у непосредственного производителя обходится универмагу в 50 ф. ст. за единицу. Стоимость подачи заказа составляет 50 ф. ст., а издержки хранения– 15% среднегодовой стоимости запасов,

Администратор компании рассматривает вопрос о сокращении запасов данной продукции, что позволило бы улучшить движение потоков наличности. По его оценке система заказов, предусматривающая отсутствие запасов, включая расходы, связанные со снижением объемов продаж и утратой доверия клиентов, составляет 5 ф. ст. в год за один плейер. Требуется:

1. Определить минимальное значение общей переменной стоимости запасов плейеров при условии, что отсутствие запасов является недопустимым. Каков оптимальный размер заказа?

2. Найти величину экономии, которая достигается при введении системы планирования отсутствия запасов. Принимается предпосылка о покрытии размера дефицита из новых поставок. Каков оптимальный размер заказа?