4.2.2. Методы составления первоначального опорного плана

1. Метод Северо-западного угла используют для нахождения исходного опорного плана транспортной задачи.

Схема метода:

Полагают верхний левый элемент матрицы X: x₁₁ = min(a₁,b₁).

Возможны три случая:

а) если a₁ < b₁, то x₁₁ = a₁, и всю первую строку, начиная со второго элемента, заполняют нулями.

б) если a₁ > b₁, то x₁₁ = b₁, а все оставшиеся элементы первого столбца заполняют нулями.

в) если a₁ = b₁, то x₁₁ = a₁ = b₁, и все оставшиеся элементы первого столбца заполняют нулями и полагают а₁ = 0.

На этом один шаг метода заканчивается. Далее все повторяют с оставшейся частью матрицы.

Алгоритм метода СЗУ

1 шаг. Выбираем верхний левый элемент незаполненной матрицы.

2 шаг. Полагаем х_ij = min(a_i, b_j).

2.Метод минимального элемента позволяет построить начальный опорный план транспортной задачи и является вариантом метода северо-западного угла, учитывающим специфику матрицы C=(c_ij)_m,n.

Схема метода: элементы матрицы C нумеруют, начиная от минимального, в порядке возрастания, а затем в этом же порядке заполняют матрицу X⁰.

Пусть элементом с минимальным порядковым номером оказался элемент x_ij⁰.

Тогда полагают x_ij⁰ = min (a_i,b_j)

Возможны три случая:

а) если min (a_i,b_j) = a_i, то оставшуюся часть i-й строки заполняют нулями.

б) если min (a_i,b_j) = b_j, то оставшуюся часть j-го столбца заполняют нулями.

в) если a_i = b_j, то оставшуюся часть строки заполняют нулями и полагают b_j=0.

Далее этот процесс повторяют с незаполненной частью матрицы.

1 шаг. Определяем C_ij min; (ij) – номер заполняемого элемента матрицы

2 шаг. Полагаем X_ij = min (a_i, b_j)

Задача 4.2.1.

Заводы фирмы-производителя стиральных машин расположены в А1, А2 и А3. Основные центры распределения продукции сосредоточены в В1 и В2. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000,1500 и 1200 стиральных машин ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 стиральных машин соответственно. Стоимость перевозки по железной дороге одной стиральной машины на один километр равняется примерно 8 копейкам. Расстояния в километрах между заводами и центрами распределения приведены в следующей таблице:

	В1	В2
А1	1000	2690
А2	1250	1350
А3	1275	850

Расстояния можно перевести в стоимость перевозки одной стиральной машины (переводной коэффициент = 0,08 руб./км). В результате получается следующая таблица стоимостей (округленных до рубля ), которая содержит коэффициенты С_ij общей модели.

	В1	В2
А1	80	215
А2	100	108
А3	102	68

Обозначим количество стиральных машин, перевозимых из исходного пункта i в пункт назначения j, через X_ij. Поскольку суммарный объем производства стиральных машин (1000 + 1500 + 1200 = 3700) равен суммарному спросу (2300 + 1400 = 3700), данная модель является сбалансированной транспортной моделью, и соответствующая задача линейного программирования с ограничениями в виде равенств формулируется следующим образом:

минимизировать Z=80X₁₁+215X₁₂+100X₂₁+108X₂₂+102X₃₁+68X₃₂

при ограничениях

X₁₁ + X₁₂ =1000,

X₂₁ + X₂₂ =1500,

X₃₁ + X₃₂ =1200,

X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ =2300,

X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ =1400,

X_ij0 для всех i,j.

Более компактный способ представления транспортной модели связан с использованием так называемой транспортной таблицы, имеющей вид матрицы, в которой строки соответствуют исходным пунктам, а столбцы – пунктам назначения. Коэффициенты стоимости С_ij расположены в правом верхнем углу каждой ячейки (i, j). Модель фирмы можно представить в виде табл. 4.2.1.

В следующем подразделе будет показано, что специальный метод решения транспортной задачи, основанный на симплекс-методе, предполагает использование транспортных таблиц.

Первоначальные опорные планы для транспортной задачи, представленной в табл.4.2.1, найденные методом Северо-западного угла и методом минимального элемента, совпадают и приведены в табл.4.2.2.

Таблица 4.2.1.

	В1	В2	Объем производства
А1	80 X11	215 X12	1000
А2	100 X21	108 X22	1500
А3	102 X31	68 X31	1200
Спрос	2300	1400	3700

Таблица 4.2.2.

	В1	В2	Объем производства
А1	80 1000	215 –	1000
А2	100 1300	108 200	1500
А3	102 –	68 1200	1200
Спрос	2300	1400	3700

Z(X) = 80руб.

Задача 4.2.2.

Пусть теперь завод А2 производит не 1500, а 1300 стиральных машин. Это приведет к дисбалансу, поскольку суммарный объем производства (3500) не равен суммарному спросу (3700).

Другими словами, дисбаланс означает, что спрос в центрах распределения стиральных машин полностью удовлетворить не удается. В этом случае необходимо видоизменить транспортную модель таким образом, чтобы недостаток стиральных машин (3700–3500 = 200) оптимально распределялся между центрами, в которые поступают стиральные машины.

Поскольку спрос превышает объем производства, можно ввести дополнительный фиктивный исходный пункт (завод) с производительностью в 200 стиральных машин. В обычных условиях завод может отправлять свою продукцию в любой центр распределения стиральных машин. Количество продукции, «отправляемой» фиктивным заводом в пункт назначения, будет представлять собой объем недостающей продукции в этом пункте.

Для завершения построения модели не хватает лишь информации о стоимости «перевозок» с фиктивного завода в пункты назначения. Поскольку на самом деле такого завода не существует, никакие перевозки не осуществляются, и соответствующая стоимость перевозки единицы продукции равна нулю. Однако эту ситуацию можно рассмотреть и по-другому, считая, что каждая единица недопоставленной в центры распределения продукции облагается штрафом. В этом случае транспортные расходы на единицу продукции равны штрафу за единицу продукции, недополученную в том или ином центре распределения.

В табл. 4.2.3. представлена сбалансированная модель с измененной производительностью завода в А2.

Таблица 4.2.3

	В1	В2
А1	80	215	1000
А2	100	108	1500
А3	102	68	1200
Фиктивный завод	0	0	200
	2300	1400

Фиктивный завод имеет производительность 200 стиральных машин. Аналогичным образом, если объем производства превышает спрос, можно ввести дополнительные фиктивные пункты назначения, которые «поглощают» избыток продукции.

Задача 4.2.3.

Пусть спрос в В1 упал до 1900 стиральных машин. В табл.4.2.4 представлена модель с фиктивным центром распределения, поглощающим избыток производства. Соответствующая стоимость перевозки одного стиральной машины равна нулю. Однако можно назначить штраф за хранение стиральной машины на складе завода, тогда стоимость перевозки одного стиральной машины станет равной стоимости его хранения.

Таблица 4.2.4.

	В1	В2	Фиктивный центр распределения
А1	80	215	0	1000
А2	100	108	0	1500
А3	102	68	0	1200
	1900	1400	400	3700

Домашнее задание 5.

Замечание. В домашнем задании применяется укороченная форма записи. Строки соответствуют исходным пунктам, столбцы – пунктам назначения, справа от вертикальной черты – объемы производства, под матрицей – спрос. Прочерк в матрице стоимости С означает, что поставка между указанными пунктами отсутствует.

Составить первоначальный опорный план двумя методами и вычислить его стоимость.

1.	–	–	8	40			2.	18	10	5	23
	3	5	1	60				–	–	4	18
	1	2	4	50				3	5	2	29
	70	30	20					15	28	20
3.	6	5	4	–	500		4.	2	1	8	200
	8	8	2	6	200			–	4	5	300
	9	–	7	6	300			1	3	–	400
	400	200	150	250				500	200	400
5.	5	8	1	100			6.	30	40	1	50
	6	–	4	50				5	–	20	20
	3	–	2	70				18	–	12	40
	10	80	90					60	60	10

7. Строительный песок добывается в трех карьерах с производительностью в день 46, 34 и 40 т и затратами на добычу одной тонны 1, 2 и 3 руб. соответственно. Песок доставляется на четыре строительных площадки, потребность которых составляет 40, 35, 30 и 45 т. Транспортные расходы на перевозку одной тонны песка заданы матрицей:

Недостающее количество песка – 30 тонн в день можно обеспечить двумя путями: увеличением производительности

а) первого карьера, что повлечет дополнительные затраты в 3 руб. на добычу 1 т;

б) второго с дополнительными затратами в 2 руб./т.

Определить оптимальный план закрепления строительных площадок за карьерами и оптимальный вариант расширения поставок песка. Потребности четвертой строительной площадки должны быть удовлетворены полностью.

8.	2	4	5	1	60	У третьего поставщика груз
	2	3	9	4	70	должен быть вывезен полностью.
	8	4	2	5	50
	40	30	20	50

9.	2	3	9	7	20	Первый и четвертый пункты
	3	4	6	1	16	отправления должны быть
	5	1	2	2	14	полностью разгружены.
	4	5	8	1	22
	16	18	12	15

10.	3	7	1	5	4	9	30	Четвертый и шестой
	7	5	8	6	3	4	5	потребители должны
	6	4	8	3	2	5	45	быть удовлетворены
	3	1	7	4	2	2	40	полностью.
	10	35	15	25	55	10