2.7. Общий алгоритм решения задачи маршрутизации на матрице орграфа

0. Задана матрица орграфа с весами на дугах, матрица стоимостей перехода ота_i к а_j.

1. Определяем начальную или конечную вершину. Тем самым определяется корень opt дерева.

2. Строим порядковую функцию от корня, преобразуя матрицу т.е. упорядочиваем вершины по уровнямЕ_i.

3. Строим opt дерево в соответствии с порядковой функцией, определяя оптимальные индексы для каждой вершины. На этом заканчивается I этап – условная оптимизация. При этом opt F_ц = I(a_n) при прямом ходе или opt F_ц = I(a₀) при обратном.

4. II этап – безусловная оптимизация. Решение находится противоположным ходом на opt дереве (по направлению к корню дерева). В результате получаем оптимальный путь в виде последовательности вершин с оптимальной суммой весов дуг:

– при прямом ходе = (а_n, а_n–1,…, а₁, а₀),

– при обратном ходе = (а₀, а₁,…, а_n–1, а_n).

Замечание. Если начальных (или конечных) вершин более одной, то вводится фиктивная вершина с дугами, имеющими нулевые веса, и задача сводится к рассмотренной.

2.8. Иллюстративный пример

Пусть задан произвольный орграф с весами на дугах. Строим для него порядковую функцию и упорядочиваем его вершины в соответствии с его порядковой функцией.

Графическое представление (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Матричное представление:

		1	2	3	4	5	6	7			1	2	4	3	5	6	7	Еi
	1	×	4	5	9		2			1	×	4	9	5		2		Е0
	2		×				5	6		2		×				5	6	Е1
	3			×		3		7	→	4			×	10	8
	4			10	×	8				3				×	3		7	Е2
	5					×		1		5					×		1	Е3
	6						×	3		6						×	3
	7							×		7							×	Е4

Решаем задачу на max F прямым ходом.

Условная opt-ция (вычислительная схема) проводится по формуле I(a_k) = I(a_k–1) + v(a_k–1, a_k):

I(a0)	(a0, a1)	I(a1)	(ai, a2), i < 2	I(a2)
1(0)	(1, 2) →0 + 4 = 4	2(4)	(1, 6) → 0 + 2 = 2	6(9)
	(1, 4) →0 + 9 = 9	4(9)	(2, 6) → 4 + 5 = 9
			(4, 3) → 9 + 10 = 19	3(19)
			(1, 3) → 0 + 5 = 5

(ai, a3), i < 3	I(a3)	(ai, a4), i < 4	I(a4)
(4, 5) →9 + 8 = 17	5(22)	(6, 7) → 9 + 3 = 12	7(26)
(3, 5) →19 + 3 = 22		(2, 7) → 4 + 6 = 10
		(5, 7) → 22 + 1 = 23
		(3, 7) → 19 + 7 = 26

1) max F = I(7) = 26.

Безусловная opt-ция проводится обратным ходом по вычислительной схеме:

2) S(a₄, a₀) = S(7, 1) = ‹7 ← 3 ← 4 ← 1› = <7, 3, 4, 1>

S(1, 7) = ‹1, 4, 3, 7›!

Задача решена.

Обратным ходом решение выглядит аналогично.

Условная opt-ция: I(a_k) = I(a_k+1) + v(a_k, a_k+1):

I(a4)	(a3, a4)	I(a3)	(a2, ai), i > 2	I(a2)
7(0)	(5, 7) →0 + 1 = 1	5(1)	(6, 7) → 0 + 3 = 3	6(3)
			(3, 5) → 1 + 3 = 4 (3, 7) → 0 + 7 = 7	3(7)

(ai, ai), i > 1	I(a1)	(a0, ai), i > 0	I(a0)
(2, 6) → 3 + 5 = 8	2(8)	(1, 6) → 3 + 2 = 5	1(26)
(2, 7) → 0 + 6 = 6		(1, 2) → 8 + 4 = 12
(4, 5) → 1 + 8 = 9	4(17)	(1, 4) → 17 + 9 = 26
(4, 3) → 7 + 10 = 17		(1, 3) → 7 + 5 = 12

1) max F = I(1) = 26.

Безусловная opt-ция проводится прямым ходом по вычислительной схеме:

2) S(a₀, a₄) = ‹1 ← 4 ← 3 ← 7› = ‹1, 4, 3, 7›.

Задача решена.

Построение opt деревьев в обоих случаях предоставляется читателю.