2.3. Идея решения задачи

Идея решения задачи состоит в присвоении каждой вершине заданного графа некоторого числа, называемого индексом и равного величине пути от начальной вершины до фиксированной (или от фиксированной до конечной). Присвоение индекса осуществляется с помощью дерева, в котором от начальной вершины до любой фиксированной существует путь, причем единственный, содержащий промежуточные вершины только по одному ряду.

Очевидно, что существует дерево, в котором все вершины имеют opt индексы. Такое дерево можно построить преобразованием любого исходного дерева для заданного графа с корнем в начальной или конечной вершине, испытывая поочередно все дуги исходного графа, не вошедшие в данное дерево.

Определение. Любой граф без циклов называется деревом.

Любое дерево обладает замечательным свойством: всякий путь на дереве определяется однозначно. Чтобы построить дерево для орграфа, нужно отвлечься от ориентации его дуг.

Дадим индуктивное определение индекса (по рекуррентной схеме). Положим, что на всех дугах (a_i, a_j) орграфа заданы веса v(a_i, a_j) и последовательность вершин а₀,…, а_n. Тогда при прямом ходе:

I(а₀) ≡ |S(а₀, а₀) ≡ 0,

I(а₁) ≡ |S(а₀, а₁) ≡ I(а₀) + v(a₀, a₁) = v(a₀, a₁),

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

I(a_i) ≡ |S(а₀, а_i) = I(a_i–1) + v(a_i–1, a_i),

i = 2,…, n;

при обратном ходе:

I(a_n) ≡ |S(а_n, а_n) ≡ 0,

I(a_n–1) ≡ |S(а_n–1, а_n) = I(a_n) + v(а_n–1, а_n) = v(а_n–1, а_n),

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

I(a_i) ≡ |S(a_i, a_n) = I(a_i+1) + v(a_i, a_i+1),

i = n – 2,…, 0.

Однако при реализации такой схемы необходимо потребовать выполнения следующего условия: подпуть оптимального пути есть путь оптимальный (это условие не работает, когда проявляется последействие, т.е. когда для I(a_i) нет выбора).

2.4. Алгоритм решения задачи с помощью произвольного дерева маршрутов

0. Исходные данные: орграф [A, R] в графическом представлении с весами v(a_i, a_j) на дугах.

1. Определяем начальную и конечную вершины a₀ и a_n.

2. Строим произвольное дерево маршрутов с корнем в a₀ (прямым ходом):

а) организуем вектор вершин М и вектор дуг Д, начальную вершину a₀ заносим в М;

б) исходящие дуги (а₀, а_к) заносим в Д, а вершины а_k – в М;

в) для каждого а_k находим все исходящие дуги (а_k, а_е); если а_е М, то заносим ее в М, а дугу (а_k, а_е) – в Д; иначе переходим к новой а_е;

г) проверка: если М содержит не все вершины из А, то выбираем новую а_k и переходим к (в); иначе – КОНЕЦ.

3. Индексируем все вершины а_k построенного дерева, образуя вектор индексов I.

4. Строим opt дерево, улучшая индексы вершин:

а) дополнительно к Д организуем вектор дуг антидерева – АД;

б) включаем в дерево очередную дугу (a_i, a_j) антидерева и проверяем: если индекс a_j улучшился, то дугу (a_i, a_j) заносим в вектор Д вместо дуги (а_k, а_j), которую заносим в АД, и переходим к (3). Иначе – переходим к следующей дуге антидерева. И так далее, пока индекс хотя бы одной вершины можно улучшить.

В результате получаем:

1) индекс а_n есть длина opt пути: I(a_n) = opt |S(а₀, а_n)|;

2) путь S(а₀, а_n) однозначно определяется на построенном дереве обратным ходом.