Метод потенциалов для оценки Δij в т-задаче

Свойство цикла: всякий цикл содержит пару загруженных клеток какой-либо строки или столбца матрицы ||х_ij|| с противоположными знаками. Отсюда следует, что изменение элементов строки или столбца матрицы стоимостей на любое число не меняет оценки Δ_ij свободной клетки, так как разности при этом сохраняются. Это значит, что сохраняются и назначения, т.е. решение задачи не меняется.

Пусть план поставок задан, т.е. фиксированы назначения.

Определение. Числа, прибавляемые к элементам строк и столбцов матрицы стоимостей так, что стоимости в загруженных клетках оказываются равными нулю, называются потенциалами строк и столбцов.

Лемма 3. Первый потенциал (любой) может быть задан произвольно (например, равным нулю). Остальные определяются однозначно.

Лемма 4. Оценка свободной клетки Δ_ij определяется как сумма ее стоимости и потенциалов и не зависит от способа выбора потенциалов.

Пример. Для прежних исходных данных построим опорный план «по минимальному элементу». Суть метода в том, что в качестве очередной загружаемой клетки матрицы ||х_ij|| выбирается клетка с минимальной стоимостью в образовавшейся прямоугольной подматрице матрицы ||с_ij||. В результате получим план:

||хij|| =	50	–	–	50/
	30	70	–	100/30
	20	–	130	150/20/
	100	70	130
	50
	30

На матрице стоимостей ||с_ij|| строим потенциалы (см. определение и лемму 3) для загруженных клеток:

||сij|| =	20			–20
	48	36		–48
	35		22	–35
	0	+12	+13

Определяем оценки (см. лемму 4) для незагруженных (свободных) клеток:

	28	32	–20	||Δij|| =		+20	+25
		40	–48				+5
	55		–35			+32
0	+12	+13

Заключение. Все Δ_ij > 0, следовательно, план оптимальный.

Замечания к решению т-задачи

1. Если Т-задача не сбалансирована, т.е. то в матрице стоимостей вводится фиктивная строка или столбец с нулевыми стоимостями.

2. Если Т-задачу требуется решать на max F_ц, то следует изменить критерий оценки решения, т.е. считать, что план можно улучшить, а значит, F_ц увеличить, если Δ_ij > 0, при этом опорный (исходный) план следует строить по максимальному элементу c_ij, или перейти к задаче на min F_ц с помощью преобразования ||с_ij||: илигде

3. Формулировка модели Т-задачи на max F_ц:

g_ij – прибыль на 1 ед. продукции;

g_ij = a_j – b_i – c_ij,

где a_j – цена реализации 1 ед. продукции,

b_i – себестоимость 1 ед. продукции,

c_ij – цена доставки 1 ед. продукции.

Ограничения на х_ij остаются прежние.

4. Если Δ_ij = 0, то имеется вариант плана с тем же значением F_ц.