5.4. Математическая модель и математическая постановка задачи

Введем обозначение для протокола наблюдений: [А_э, (Х, у)], где Х = {х_i}. Поскольку эта таблица представима в виде трех таблиц, то вместо одной таблицы будем иметь три: [А_э, Х], [Х] и [Х]. В теории классификаций они называются перечислительными классификациями. Заметим, что переменная у здесь уже не фигурирует.

Доказано, что для всякой перечислительной классификации существует ее max форма, сохраняющая те же зависимости между переменными, но содержащая max число векторов x₁(а_i), x₂(а_i),…, x_m(а_i). Тогда для каждой таблицы в качестве множеств А, А′, А" можно взять соответствующие А_max, А′_max, А"_max из их max форм, которые в совокупности образуют математическую модель. Такая модель является дискретным аналогом уравнения у = F(), где у =у′, у": для А имеем [А_max, Х], для А′ – [А′_max, Х], для А" – [А"_max, Х].

И общая задача распадается на три идентичные подзадачи:

1. Зная [А_э, Х], требуется построить [А_max, Х] и определить: (с  А_max) или (с  А_max).

2. Зная [А′_э, Х], требуется построить [А′_max, Х] и определить: (с  А′_max) или (с  А′_max).

3. Зная [А"_э, Х], требуется построить [А"_max, Х] и определить: (с  А"_max) или (с  А"_max).

Очевидно, что задачи 2 и 3 имеют смысл только тогда, когда с  А_max.

Таким образом, выясняя прямой подстановкой принадлежность вектора c = x_i(c),…, x_m(c) всем трем max формам, находим значение у в точке с, т.е. у(с), что делается в прямых задачах.

5.5. О решении задачи

Итак, суть задачи, которая является прямой, сводится к построению функциональной зависимости F в виде трех max форм для эмпирических таблиц.

Однако строить max форму в явном виде нецелесообразно, поскольку она может быть очень большого объема. Достаточно сделать проверку вектора с = x_i (c), j = 1,…, m на допустимость.

Лемма. Для того чтобы вектор с  А_max, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял исходным зависимостям между переменными x_i.

В результате такой проверки получаем: с  А_max или с  А_max. Если с  А_max, то аналогично проверяем: с  А′_max? и с  А"_max? В общем случае возможны следующие исходы решения:

1) с  А′_max и с  А"_max (у = у′, «чистое» решение);

2) с  А′_max и с  А"_max (у = у", «чистое» решение);

3) с  А′_max и с  А"_max («пересечение»: следует увеличить число переменных x_i);

4) с  А′_max и с  А"_max («отказ»: следует увеличить число наблюдений а_i или организовать новое А''').

Остается рассмотреть способ задания зависимостей между переменными x_j. В теории классификаций их называют начальными условиями. В данном случае такой способ состоит в следующем.

Из протокола наблюдений (эталонная выборка) выписываем только те столбцы, которые соответствуют интересующим нас переменным (например, (х_j, х_k)). Если при этом возникают тождественные комбинации значений этих переменных, то оставляем только одну. При этом полученные таблицы называют проекциями исходной эмпирической таблицы, а операцию их построения – проектированием этой таблицы на некоторое подпространство пространства Х = x₁, x₂,…, x_m. Например, изображение в трехмерном пространстве можно спроектировать на плоскости и получить три плоских изображения. Если они представлены в виде точек, то возникают соответствующие таблицы.