Вопросы по курсу МО

4

Вопросы к зачету по курсу

«Методы оптимизации»

часть I. Оптимизационные задачи и численные методы их решения (основы)

1. Общая постановка задачи оптимизации (определения и примеры), теорема Вейерштрасса и её уточнение (с доказательством).

2. Задача безусловной оптимизации, теоремы о необходимых и достаточных условиях локального оптимума, примеры.

3. Задача условной оптимизации (постановка, определения и примеры).

4. Классическая задача на условный экстремум, функция Лагранжа, формулировка правила множителей Лагранжа, условие регулярности и его геометрическая интерпретация.

5. Необходимые и достаточные условия оптимальности классической экстремальной задачи (формулировки и примеры их использования при решении конкретных задач).

6. Выпуклые множества, гиперплоскость и ее нормаль, полупространство, полиэдр; выпуклые и строго выпуклые функции, вогнутые функции, линейные функции (определения, примеры).

7. Задача выпуклой оптимизации, локальные и глобальные решения, необходимые и достаточные условия, единственность решения (формулировки и доказательства соответствующих теорем, примеры).

8. Задача математического программирования (постановка, примеры), специфика задач математического программирования.

9. Задача выпуклого программирования (постановка задачи, в чем ее особенность среди всех задач математического программирования?), конкретные примеры (индивидуальных) задач выпуклого программирования.

10. Задачи линейного и квадратичного программирования, различные формы задачи линейного программирования (ЛП-задачи) и их матричное представление, эквивалентность этих форм.

11. Геометрическая интерпретация ЛП-задачи (примеры конкретных задач), типы ЛП-задач (задача о рационе, транспортная задача).

12. Задача дискретной оптимизации (постановка, примеры).

Литература

1. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В., «Курс методов оптимизации» (глава 1, глава 2 - прочитать).

2. Карманов В.Г., «Математическое программирование».

часть II. Линейное программирование

13. Теорема 1 (основная теорема о линейных неравенствах) – пошаговая схема доказательства и его геометрическая интерпретация (без доказательства конечности этого процесса).

14. Теорема 1 (основная теорема о линейных неравенствах) – пошаговая схема доказательства и доказательство конечности этого процесса (без его геометрической интерпретации).

15. Коническая, (аффинная, выпуклая) комбинация векторов; коническая, (аффинная, выпуклая) зависимость векторов; коническая, (аффинная, выпуклая) оболочка множества векторов; конус (аффинное подпространство, выпуклое множество).

16. Полиэдральный (конечнопорожденный) конус (определения), следствие 1a (о полиэдральности конечнопорожденных конусов).

17. Полиэдр, политоп, многогранник; сумма политопа и конуса (алгебраическое определение и геометрическая интерпретация), порожденность полиэдра точками и направлениями (лучами) (определения и примеры).

18. Следствие 1b (Теорема Моцкина о разложении полиэдров).

19. Следствие 1c (Теорема об ограниченных полиэдрах).

20. Следствие 1d (Лемма Фаркаша) и ее геометрическая интерпретация.

21. Следствия 1e и 1f (варианты леммы Фаркаша) с полными доказательствами обеих.

22. Задача линейного программирования (ЛП-задача) в матрично-векторной форме: ограничения, объектная (целевая) функция, множество допустимых решений (определения и их геометрическая интерпретация).

23. Лемма 1 и следствие 1g (теорема двойственности ЛП) с полным доказательством.

24. Эквивалентные формы задач ЛП, пары взаимно двойственных ЛП-задач (с доказательством их взаимной двойственности).

25. Геометрическая интерпретация ЛП-двойственности, строгие неравенства для оптимального решения прямой задачи и нулевые компоненты — для двойственной.

26. Эквивалентность разрешимости систем линейных неравенств, решения задач ЛП и разрешимости систем линейных уравнения в неотрицательных переменных (определения и доказательство).

27. Теорема 2 (о вершине полиэдра).

28. Следствия из теоремы о вершине полиэдра: 1) о числе вершин полиэдра, 2) о рациональности вершин полиэдра при рациональных ограничениях, 3) о целочисленности вершин полиэдра при вполне унимодулярной матрице (определение) ограничений и целочисленном целевом векторе.

29. Следствие 1h (аффинная форма леммы Фаркаша) с полным доказательством и ее геометрическая интерпретация.

30. Следствия 1i и 1j (теорема Каратеодори) в линейной и аффинной форме.

31. Дополняющая нежесткость, 3 эквивалентных условия (почему они эквивалентны?), формулировка теоремы о дополняющей нежесткости.

32. Следствие 1l из теоремы о дополняющей нежесткости и теоремы Каратеодори.

33. Симплекс-метод (начальная вершина известна): пошаговая схема алгоритма и его геометрическая интерпретация (без доказательства конечности).

34. Симплекс-метод (начальная вершина известна): пошаговая схема алгоритма с доказательством его конечности (без геометрической интерпретации).

35. Первый этап симплекс-метода, когда начальную вершину предстоит найти (если она существует) с полным доказательством.

36. Эффективность симплекс-метода: правила выбора следующей вершины, вырожденные и невырожденные задачи, неэффективность его при решении комбинаторных задач, терминология симплекс-метода.

37. Пример Кли и Минти (основная идея и рекурсивное построение самого примера).

38. Эффективность (сложность) симплекс-метода и линейного программирования вообще (правило выбора, сильная полиномиальность, битовая сложность, полиномиальные ЛП-алгоритмы).

Литература

1. А.Схрейвер, «Теория линейного и целочисленного программирования», М, Мир, 1991 (главы 1, 2, 3 – прочитать; глава 7, разделы 11.1 – 11.4).

2. Л.Ловас, М.Пламмер, «Прикладные задачи теории графов», М, Мир, 1998 (вставки 1A, 1B, 2B, 6A, раздел 7.0, вставки 7A, 7B, 12A – прочитать).

3. Ашманов С.А., Линейное программирование, Москва, Наука, 1981.

4. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В., «Курс методов оптимизации».

часть III. Основы выпуклого анализа и алгоритмов решения задач комбинаторной оптимизации

39. Определения выпуклого множества, (выпуклого) конуса, аффинного множества, линейное подпространство параллельное аффинному множеству (примеры); простейшие факты об этих множествах (теоремы 1.1 – 1.3, следствие) с доказательствами.

40. Выпуклая, коническая, аффинная (линейная) комбинация, соответственно, оболочка множества точек, линейное подпространство параллельное множеству (примеры), теорема о совпадении перечиссленных оболочек с множеством всевозможных (соответствующих) комбинаций точек произвольного множества с доказательством.

41. Теорема о представлении точки конуса в виде коническо независимомой подсистемы точек этого конуса (теорема 1.6) и ее следствие, теорема Каратеодори и ее следствие (все с доказательствами).

42. Определение политопа, конечно порожденного конуса, теорема о компактности политопа, теорема замкнутости конечно порожденного конуса (с доказательством).

43. Соотношение классов задач математического (нелинейного) программирования, выпуклого программирования, линейного программирования, задач о потоках и паросочетаниях и задач целочисленного линейного программирования; эффективность алгоритмов их решения.

44. Индивидуальная задача оптимизации, и (массовая) задача оптимизации; примеры (массовых) задач комбинаторной оптимизации: задача коммивояжера, минимальное остовное дерево и кратчайший путь на графе.

45. Основные понятия теории графов (ориентированные и неориентированные графы, смежность вершин, степени вершин, маршрут, цепь, цикл, …), двудольные графы, деревья, взвешенные графы, сети, определение потока в сети.

46. Типы данных, структуры данных, абстрактные типы данных; списки и их реализации: посредством массивов и с помощью указателей, сравнение реализаций, двусвязные списки; стеки и очереди.

47. Временные оценки, размер (индивидуальной) задачи; размер графа, зависимость размера графа от его представления, матрица смежности и списки смежности; полиномиальные алгоритмы.

48. Поиск на графе, метод поиска в ширину и метод поиска в глубину.

49. Алгоритмы нахождения кратчайших путей на графе.

50. Алгоритмы построения минимального остовного дерева на графе.

Литература

1. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В., «Курс методов оптимизации» (раздел 2.1).

2. Пападимитриу Х., Стайглиц К., «Комбинаторная оптимизация» (разделы 1.1, 1.2, П.2, 8.1 – 8.4, 8.5, 9.1, 12.1 – 2.3).

3. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж., «Структуры данных и алгоритмы» (разделы 1.3, 1.4, 2.1 – 2.4, 6.1 – 6.3, 7.1 – 7.3).