Тема 2 индексный метод (теория графов)

2.1. Основные понятия и определения индексного метода (им)

Пусть А – множество состояний экономической системы. Отдельные состояния a_i называют элементами множества А, a_i  A, A = {a_i}.

Рассмотрим два множества: A = {a_i}и B = {b_j}. Множество пар {(a_i, b_j)} называют декартовым произведением A  B.

Положим, B = A. Тогда A  B = A  A = {(a_i, b_j)} = A² – декартов квадрат. Подмножество R множества A², R  A², называют бинарным отношением на множестве А.

Пара множеств А и R называется графом состояний [A, R]. Элементы a_i называются вершинами графа, а пары вершин (a_i, a_j) – ребрами графа. Если ребра ориентированы, a_i, a_j, то их называют дугами. Граф с дугами называют ориентированным графом или орграфом, иначе граф называют обыкновенным. Другие типы графов будут определяться по ходу изложения.

Любой граф может быть представлен графически (для наглядности) или алгебраически (матрицей).

Пример. Пусть орграф из 7 вершин имеет 12 дуг: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 6), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 3), (4, 5), (5, 7), (6, 7).

Графическое представление (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Матричное представление:

	1	2	3	4	5	6	7
1	×	1	1	1		1
2		×				1	1
3			×		1		1
4			1	×	1
5					×		1
6						×	1
7							×

Строки матрицы содержат исходящие дуги, а столбцы – входящие. Поэтому пустой столбец соответствует начальной вершине, а пустая строка – конечной. (Определение см. ниже.)

Последовательность вершин или дуг (ребер) графа, переводящая вершину a_i в вершину a_j, есть путь из a_i в a_j, S(a_i, a_j) = S_ij. Замкнутый путь S(a_i, a_i) в обыкновенном графе называется циклом, а в орграфе – контуром. В дальнейшем будут рассматриваться орграфы без контуров.

Всякая вершина в орграфе без контуров называется начальной – a₀, если она не имеет входящих дуг, и конечной – a_n, если она не имеет исходящих дуг.

Лемма. Всякий орграф без контуров обладает начальной и конечной вершинами.

Тогда процедура прохождения от а₀ к а_n или обратно (прямой или обратный ход) есть n-шаговый процесс, в котором один шаг соответствует прохождению одной дуги.

2.2. Постановка задачи маршрутизации в им

Пусть [A, R] – орграф без контуров, и пусть на дугах этого графа задана некоторая арифметическая функция v(a_i a_j) (заданы веса на дугах).

Пример (продолжение предыдущего):

||v(ai aj)|| =		1	2	3	4	5	6	7
	1	×	4	5	9		2
	2		×				5	6
	3			×		3		7
	4			10	×	8
	5					×		1
	6						×	3
	7							×

Требуется определить оптимальный путь от начальной вершины а₀ до конечной а_n. Это означает: определить последовательность вершин а₀, а₁,… а_n, оптимизирующих целевую функцию F = = S (а₀, а_n), т.е.