Тема 4 методы линейного программирования (лп)

4.1. Систематизация моделей лп

В отличие от ДП в ЛП разработано несколько методов решения задач. Эти методы, очевидно, связаны с различными типами моделей ЛП. Попытаемся выяснить, с какими.

Прежде всего следует отметить, что показатель эффективности d ЛП (целевая функция) есть линейная функция от переменных управления. Чтобы иметь экстремумы, такая функция должна быть ограничена. Действительно, любая модель ЛП помимо линейного показателя эффективности содержит ограничения на переменные управления в виде линейных равенств или неравенств. Поэтому для выяснения типов моделей ЛП достаточно задать типы показателя эффективности и типы ограничений на переменные управления.

Положим, что переменные состояния в какой-то задаче ЛП представлены двумя независимыми категориями. Им соответствуют две категории состояний системы: А₁ = {а_i} и А₂ = {а_j}. Тогда общее состояние системы есть пара (a_i, a_j), где а_i  А₁, a_j  А₂. Множество таких пар образует декартово произведение А₁ × А₂ = {(a_i, a_j)}, а каждой паре (a_i, a_j) приписывается цена с (a_i, a_j) = с_ij и количество объектов системы в этом состоянии: х(a_i, a_j) = х_ij (переменные управления). Цена с_ij обычно называется стоимостью перехода от a_i к a_j.

Рассмотрим пару множеств А₁ и А₂. Принято различать следующие случаи их задания.

1-й случай: А₁  А, А₂ = . Пример: А есть множество типов изделий, А₁ – множество выпускаемых типов изделий на данном предприятии. Тогда с_i – цена одного изделия, а х_i – количество изделий i-го типа. Целевая функция при этом выражается в векторной форме:

2-й случай: А₁  А, А₂  В. Множества А и В принципиально различны. Пример: А есть типы изделий, В – типы технологий. Тогда с_ij – стоимость одного изделия, а х_ij – количество изделий i-го типа из А₁, изготовленных по j-й технологии из А₂. Целевая функция выражается в матричной форме:

с разнородными наборами А₁ и А₂.

3-й случай: А₁  А, А₂  А. Пример: множество А – различные пункты, А₁ – пункты отправления, А₂ – пункты назначения. Тогда с_ij – цена доставки, а х_ij – количество единиц продукции, доставляемых из a_i в a_j; a_i  А₁, a_j  А₂. Целевая функция выражается в матричной форме:

с однородными наборами А₁ и А₂.

Что касается ограничений на переменные управления х_i и x_ij, то здесь достаточно различать лишь два случая: 1) х_i, x_ij  0 и 2) х_i, x_ij = = 0,1 (т.е. непрерывные или дискретные переменные), так как здесь возникают принципиально различные алгоритмы.

Полученные результаты полезно представить в следующем виде (табл. 1).

Таблица 1

Типы показателя эффективности	Векторная форма		Матричная форма
			А1  А, А2  В (разнородные наборы)		А1  А, А2  А (однородные наборы)
Типы ограничений	хi  0	хi = 0,1	xij  0	xij = 0,1	xij  0	xij = 0,1
Тип модели	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)

Для каждого из шести типов моделей ЛП возникает свой тип задач, которые, как правило, имеют теоретически разработанные методы решения:

1. Задачи самого общего вида. Специально для таких задач разработан универсальный метод решения – симплекс-метод.

2. Частный случай (1), но эффективных алгоритмов в ЛП нет. В принципе можно свести к симплекс-методу.

3. Задачи распределения или назначения общего вида. Сводятся к типу (1), но некоторые задачи имеют специфические алгоритмы.

4. Частный случай типа (3), эффективных алгоритмов в ЛП нет.

5. Т-задачи. Наиболее разработанный тип задач под названием «Транспортные задачи». Имеют хорошо разработанную математическую теорию решения (распределительный метод, метод потенциалов, обобщенный венгерский метод).

6. Частный случай типа (5): задачи «О назначениях». Весьма эффективно решаются венгерским методом, но могут быть решены любым алгоритмом Т-задачи.

Замечания

Все методы ЛП, кроме симплекс-метода, привязаны к специфике решаемых классов задач и поэтому неотделимы от их конкретных математических моделей.

Решение конкретной прикладной задачи осуществляется сведением (если это возможно) ее модели к типовой модели какого-либо метода.