48. Понятие о двойств.Задачах. Мат.Модель 2-ной злп.

Имеется m-видов сырья b₁,……b_n, к-ые используются для производства n-видов продукции.

Введём переменную a_ij-расход i-го сырья на изготовление единицы j-й продукции.

С_j–прибыль от реализации единицы i-го вида продукции, X_j–объём выпуска j-й продукции

Z(x)=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n →max

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n≤b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n≤b₂

…………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n≤b_m

x_j≥0

Предположим, что имеется 2-й производитель(2-я фирма) тоже производит какую-то продукцию и ей требуется то же сырьё, что и для 1-й. Рассматриваем задачу условий продажи сырья 1-й фирмы 2-й

Y=(y₁,y₂,…y_m)-вектор цен единицы i-го вида сырья

F(Y)=b₁y₁ +b₂y₂+….+b_my_m →min

a₁₁y₁+a₂₁y₂+…+a_m1y_m≥c₁

a₁₂y₁+a₂₂y₂+…+a_m2y_m≥c₂

…………………………

a_1ny₁+a_2ny₂+…+a_mny_m≥c_n

y_i≥0

Мы построили двойственную или сопряжённую исходной задачу.

Матрица коэффициентов сопряжённой задачи является транспонированной матрицей коэффициентов исходной задачи.

Математические модели двойственных задач

Симметричные пары

1) Z(x)=C*X=> max F(y)=Y*B=>min

A*X≤B Y*A≥С

x≥Ø Y≥Ø

2) Z(x)=C*X=>min F(y)=Y*B=>max

A*X≥B Y*A≤C

X≥Ø Y≥Ø

Несимметричные пары

1) Z(x)=C*X=>max F(y)=Y*B=>min

A*X=B Y*A≥C

X≥Ø

2)Z(x)=C*X=>min F(Y)=Y*B=>max

A*X=B Y*A≤C

X≥Ø

C=(c₁,c₂,…..,c_n)

Y=(y₁,y₂,….,y_n)

x₁ b₁

X = x₂ ; B = b₂

… …

x_n b_m

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

A= a₂₁ a₂₂ ... a_2n

....................

a_m1 a_m2 ... a_mn

49. Правила составления двойственной задачи

1)Во всех ограничениях основной задачи неизвестные стоят слева,а свободные переменные справа

2)В ограничениях-неравенствах знаки должны быть направлены в одну сторону

3)Если в исходной задаче в ограничениях стоят знаки ≤,то целевая ф-ия максимизируется, если ≥,то-минимизируется.

4)Каждому ограничению исходной задачи соответствует неизвестная в двойственной задаче,при этом неизвестная,соответствующая ограничению-нер-ву,должна соответствовать условию неотрицательности,а неизвестная,соответствующая ограничению-равенству может быть любого знака.

5)Целевая ф-ия двойственной задачи имеет вид F(Y)=Σb_i*y_i+C₀, где y_i–неизвестные двойственной задачи,b_i–свободные члены в ограничениях основной задачи, С₀–свободный член целевой ф-ии основной задачи

Z(x)= Σ c_j*x_j +C₀

6)Целевая ф-ия F должна оптимизироваться с противоположным по сравнению с Z смысле(если ф-ия Z максимизируется,то F-минимизируется и наоборот)

7)Каждому неизвестному в исходной задаче соответствует ограничение в двойственной(n). Все ограничения двойственной задачи имеют вид неравенств,в к-ых свободные члены находятся справа,а неизвестные y-слева. Все знаки нер-в-ограничений имеют вид ≥,если ф-ия F минимизируется,все знаки имеют вид ≤,если ф-ия F максимизируется.