12. Частные случаи разложения векторов

1. Нулевой вектор разлагается по любой системе n-мерных векторов.

Ǿ = + + … + => Ǿ = Ǿ

=0 + + … => = 0

2. Если вектор В разлагается по части системы , то он разлагается по всей системе.

Дано: B = + … +

Доказать: B = Ǿ (Ǿ = )

B = B + Ǿ = + … + +

3. Любой вектор B разлагается по диагональной системе векторов, коэффициенты которого являются координатами вектора В.

B ( )

+ = (1 0 0 0…0) + (0 1 00… 0) + …+ (0000… 1) = ( + (0 + … + (0000… )

4. Любой вектор разлагается по разрешенной системе n –мерных векторов.

5. Если вектор B разлагается по системе векторов , а разлагается по системе , то В разлагается по системе .

6. Если j-ая координата каждого вектора А равна 0, а каждая j ая координата В неравна 0, то вектор В не разлагается по системе .

13. Элементарные преобр-я СВ. Жорданово преобр-е.Эл.пр-я:

1) вычеркив-е ур-я системы, у кот.все коэф.при неизв. и св.член=0,т.е.выч-е тривиального ур-я; 2) умнож.обеих частей к-либо.ур-я сист.на число≠0; умножение координаты кажд вектора на число, не ≠0

3) замена i-го ур-я сист.ур-ем, кот.получ.путем почленного слож-я i-го и j-го ур-й.(дописывание каждому вектору Aj i-координаты=0)???

4)прибавление к i-координате кажд вектора его j-ой координаты, * на число к. В этом случае i-строка не меняется, j=меняется

Эл.пр-я переводят данную сист.ур-й в равносильную ей сист.

Жорд.пр-е:

1) выбр.люб. ненулев.коэф-т СB, напр. a_rs≠0. Он нзв разрешающим.

2) умнож. кажд.эл-т разреш.строки (r-строки) на 1/ a_rs.

3) К 1-й строке прибав.нов.разреш.строку, умнож. на число a_1s и т.д.

Цель – получ.СB, у кот. Свектор-единичн содерж.разреш.неизв.х_s.

14 Т-ма о преобр-и СВ в разрешенную

Кажд.СВ, содерж хотя бы 1 ненулевой вектор, можно при помощи конеч.числа преобр. Жордано превратить в разреш.или в сист.,содерж.противореч.ур-е.

След.1: Совмест.С(лин)У равносильна разреш.сист.

След.2: Совмест. С(лин)У имеет либо 1 реш., либо бесчисл.много.

15. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Определение: система n- мерных векторов называется линейно зависимой, если существует такой ненулевой набор чисел к₁, к₂, ...., к_n, при котором имеет место следующие равенство к₁А₁+к₂А₂+...+к_n А_n=.

Определение: система n- мерных векторов называется линейно независимой, если к₁А₁+к₂А₂+...+к_n А_n= справедливо тогда и только тогда, когда к₁= к₂= ....= к_n=0.

Для линейно зависимых и независимых систем справедливы следующие утверждения:

1. Система векторов, состоящая из одного ненулевого вектора (А≠) линейно независима:

кА=  к=0

2. Диагональная система векторов является линейно независимой к₁Е₁+к₂Е₂+...+к_n Е_n=, к₁= к₂= ....= к_n=0.

3. Система векторов А_i линейно зависима, если хотя бы один вектор этой системы разлагается по остальным векторам к₁А₁+к₂А₂+...+к_n А_n=, А₁=l₂ A₂+l₃ A₃+...+l_n A_n  А₁- l₂ A₂- l₃ A₃-...-l_n A_n=,

1;l₂; l₃; ...l_n- ненулевой набор.

4. Система n-мерных векторов линейно зависима, если nm/