36. Мат.Модели эк.Задач.

1) задача исп-я ресурсов;

b – запасы ресурсов, aij – расход каждого i-ого вида ресурса на изготовление единицы j-ой продукции, сj – прибыль

Z(x)=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n → max

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n≤b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n≤b₂

………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n≤b_m

x_i ≥ 0

2) задача о составлении рациона питания;

b- животные должны получать ежедневно не менее b, aij – содержание jого пит вещества в единице jого вида корма, cj – стоимость единицы jого вида корма.

Z(x)=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n → min

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n≥b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n≥b₂

………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n≥b_m

x_i ≥ 0

3) транспортная задача.

37. Каноническая форма линейного прогр-ния

Задача лин прогр-ния наз канонической, если все ограничения есть уравнения, а переменные неотрицательны.

Различные формы записи задач лин прогр-ния:

1)Координатная форма записи задач:

Z(x)=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n → max (min)

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

…………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

x_i ≥ 0

Или:

Z(x)=Σc_ix_i → max(min)

Σ a_ijx_j=b_i

x_j≥0

2)Векторная форма записи задач:

Х=(х₁, х₂,…х_n)

C=(c₁, c₂,…c_n)

a₁₁ b₁

A₁ = a₂₁ ; B = b₂

… …

a_m1 b_m

Z(x) = C*X → max (min)

A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n=B

X ≥ Ø

3) Матричная форма записи:

a₁₁…a_1n

A= ………

a_m1…a_mn

Z(x) = C*X → max (min)

A*X=B

X ≥ 0

38. Приведение общей задачи лп к канон.Форме:

(1) a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n ≤ b₁

прибвим x_n+1 так, чтобы лев.часть стала равна пр.ч.

a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n+ x_n+1 = b₁, где x_n+1= b₁ - a₁x₁ - a₂x₂ -…- a_nx_n (x_n+1-дополн.перем.)

Теорема. Каждому решению ß(β₁…β_n) нер-ва (1) соотв.единств.реш-е след.сис-мы:

a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n+ x_n+1 = b₁ (2)

x_n+1≥ 0

Каждому реш-ю сис-мы (2) соотв.единств.реш-е нер-ва (1)

Док-во:1) пусть ß – реш-е нер-ва

a₁β₁+a₂β₂+…+a_nβ_n ≤ b₁ (3)

0≤b₁-a₁β₁-a₂β₂-…-a_nβ_n = β_n+1

Если подст. β_i в (2) вместо x_i:

a₁β₁+a₂β₂+…+a_nβ_n+(b₁-a₁β₁-a₂β₂-…-a_nβ_n)=b₁

b₁=b₁

2) a₁β₁+a₂β₂+…+a_nβ_n+ β_n+1=b₁ (4)

β_n+1≥0

Отбросим β_n+1 из (4). Т.к. β_n+1 – неотриц., отбросив ее, получим нер-во (3).

Замечание. Дополн.неизвест.не влияют на цел.ф-ю (т.е.вводятся с коэф-м 0).

Замечание. В зав-ти от знака нер-ва дополн.перем.надо либо прибав., либо вычит.

39. Графический метод решения злп.

ЗЛП нзв плоской, если кол-во перем-ых равно 2.

ОДР имеет вид многоуг-ка, т.к. кажд.нер-во – полуплоскость. Цел.ф-я – прямая.

Прямая линия, ур-е кот.получ.из цел.ф-и, если приравнять ее константе, нзв линией уровня.

Лин.ур-ня, имеющая общ.точки с ОДР и располож.так, что ОДР наход.в одной из полуплоскостей, нзв опорной прямой.

ОДР любой задачи имеет не более двух опорных прямых, на одной из которых может находиться оптимальное решение.

Алгоритм реш-я плоской ЗЛП граф.методом:

*Строим обл.допуст.реш-й;

*Строим в-р n(c₁;c₂) с началом в т.(0;0);

*Строим лин.ур-ня, соотв.ур-ю с₁х₁+с₂х₂=0;

*Лин.ур-ня перемещаем || самой себе до полож-я опор.прямой. На этой прямой и будут наход.знач-я max и min

в зав-ти от вида ОДР и цел.ф-и кол-во решений может быть различно.(если одр явл пустым множеством след реш нет, если линия уровня уходит в бесконечность, то задача не имеет решений ввиду неограниченности цел ф-ии, если целевая функция достигает экстремума в двух угловых точках, то бесконечное множ-во решений. Опт решением явл любая выпуклая линейная комбинация этих точек)

*после нахожд опт реш вычислить значение целевой ф-ии.