22. Свойства определителей

1. Если строки или столбцы матрицы А линейно зависимы, то определитель матрицы А равен 0. Т.к. столбцы есть система из векторов, то А₁ = k₂A₂ + k₃A₃ + … + k_nA_n

A₁ – k₂*A₂ – k₃A₃ - … - k_nA_n ≠ Ø + следствие 2

2. Пусть Aj может быть представлен в виде суммы двух векторов

A = (A₁, A₂…A_j…A_n)

A_i = A_i’ +A_i”

Рассмотрим две матрицы, которые получаются:

А’ = (A₁ A₂…A_i’…A_n)

A” = (A₁ A₂… A_i”…A_n)

Следовательно, справедливо следующее свойство:

detA = detA’ + detA” (это же утверждение справедливо и для строк)

3. Если две строки определителя (два столбца) поменять местами, то определитель следует умножить на (-1)

4. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы

detA = detA^T

23.Алгебраическое дополнение

(-1) ^i+j det A_ij

Определит люб матрицы=сумме произведения люб строки (столбца) на их алгебраическое дополнение.например по i-строке:

Det A=a _i1 (-1) ^i+j det A_i1 +a _i2 (-1) ⁱ⁺² det A_i2 +…

+a _in (-1) ⁱ⁺ⁿ det A_in

Определение: алгебраическим дополнением Aik в определители А называется величина (-1)i+k |Аik|

Пусть задана матрица Аi, обозначенная через Аik, которая получается путем вычеркивания i-ой строки и k-ого столбца в матрицу А.

Теорема: определитель любой матрицы равен сумме произведений элементов любой ее строки (столбца) на их алгебраическое дополнение.

24. Вычисление определителей

Задана матрица А; обозначим через A_ik матрицу, которая получается путем вычеркивания i-строки и k-столбца в матрице А.

Определение: алгебраическим дополнением элемента a_ik в определителе A (в delA) называется величина (-1)^i+k *detA_ik

a_ik – элемент, стоящий на пересечении вычеркнутой строки и столбца

Теорема: определитель любой матрицы равен сумме произведений элементов любой её строки (столбца) на их алгебраические дополнения

25. Линейные уравнения. Виды линейных уравнений.

Линейным уравнением относительно неизвестных Х1, Х2..Хn называется выражение вида – a1x1 + a2x2+…an xn=b. где а1а2…an, b – числа. При этом а1, а2…an – коэффициенты уравнения, ab – свободные члены. Последовательность n чисел k1,k2…kn называется решением уравнения если после подстановки Х1=K1, Х2= k2,…Xn=Kn в данное уравнение оно превратится в верное числовое соотношение. Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. ВИДЫ : дифференциальные, тригонометрические, с одной переменной, с двумя, линейные уравнения с параметрами

26. Системы линейных уравнений. Формы записи систем уравнений.

Пусть дана система m линейных уравнений относительно неизвестных Х1, Х2, … Xn. Уравнения системы будем считать пронумерованными – первое, второе итд. Коэффициентами при неизвестных в i-м уравнении системы обозначим через а-i1, аi2, …а-in( первое индекс уравн, второе номер неизв, при котором стоит коэффициент), а свободный член i-го уравнения через b-i. Тогда система линейных уравн будет выглядеть :

а11х1+а12х2+…+а-1nXn=b1

a21X1+a22X2+…+a-2nXn=b2

a-m1X1+a-m2X2+…+a-mnXn=b-m

Числа а-11 а-12…a-mn называются коэффициентами системы уравн, а числа b1,b2…b-m – свободными членами.

Правило Крамера решения систем линейных уравнений: Записать определитель матрицы коэффициентов системы.Заменить в этом определителе первый столбец столбцом свободных членов.Разделить полученный в пункте 2 определитель на определитель из пункта 1, получим значение первого неизвестного.Повторить пункты 1-3 по отношению ко второму столбцу матрицы системы, а также все остальным столбцам.Вычислить все указанные определители и записать порученное решение системы. Матричная форма записи систем линейных уравнений -Если написать матрицу системы и умножить ее на столбец неизвестных, то мы получим матрицу. Приравняв этот столбец к столбцу свободных членов, мы получим равенства соотвествующи элементов. Эти равенства как раз и представляют собой уравнения системы.Таким образом матричная форма записи системы уравнений представляет собой одно матричное уравнение, в левой части которого стоит произведение матрицы коэффициентов, на столбец неизвестных, а в правой части - столбец свободных членов. Метод Гаусса решения -Первый случай: количество уравнений и неизвестных равны между собой и определитель системы не равен нулю.Второй случай: количество неизвестных в системе больше количества уравнений и система строк матрицы коэффициентов линейно независима. Третий случай: количество неизвестных в системе меньше количества уравнений и система столбцов матрицы коэффициентов линейно независима.