44. Разрешенная каноническая задача лин прогр-ния

Канонич задача лин прогр-ния наз разрешенной, если выполняются следующие условия:

1)свободные коэффиц системы ур-ий неотрицательны

2)система ур-ий явл разрешенной

3)разрешенные неизвестные не входят в целевую строку

а₁₁ а₁₂ … а_1n-m 1 0 … 0 b₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n-m 0 1 … 0 b₂

……… …………..………….. (2)

а_m1 а_m2 … а_mn-m 0 0 … 1 b_m

-c’₁ -c’₂… -c’_n-m 0 0 … 0 C’₀

b_i≥0; i=1,2…m

Задача: Имеется канонич задача (1), необходимо получить (2).

Если в правой части системы (1)имеются отрицательные коэффиц, необходимо умножить эти строки на (-1), надо воспользоваться методом Жордана Гаусса. 1)Выбираем столбец, в котором присутств хотя бы один положительный коэффициент. 2) Матрицу расширяем еще на один столбец 3) Запишем в этом столбце отношение коэфф выбранного столбца 4) Те отношения, для которых значение 0, вычеркнем. Оставшиеся отношения назовем допустимыми. 5)Наименьшее допустимое значение указывает на строку, в которой выбираем разрешающий элемент.

Преобразование Жордана Гаусса с разрешающ элементом, выбранным по выше изложенной схеме для всей таблицы наз симплексным преобразованием.

Теорема. Симплексное преобразование разрешенную канонич задачу переводит в эквивалентную разреш канонич задачу.

Базисным решением разрешен канонич задачи наз базисное решение системы уравнений (2).

Xб=(0: 0…0; b₁,b₂,…b_m)

Z(x_б)=c₁*0+c₂*0+….+c_n-m*0+0*b₁+0*b₂+….+0*b_m+C₀=C₀

Преобразование целевой ф-ции при переходе от одного опорного решения к другому.

а₁₁ а₁₂ … а_1n-m 1 0 … 0 b₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n-m 0 1 … 0 b₂

……… …………..…………..

а_m1 а_m2 … а_mn-m 0 0 … 1 b_m

-c₁ -c₂ … -c_n-m 0 0 … 0 C₀

1) –с1< 0 => Z’>Z

2) –с1> 0 => Z’<Z

3) –с1= 0 => Z’=Z

45. Симплексный метод решения задач

Симплексный метод основывается на след:

1. ОДР ЗЛП явл выпуклым множеством с конечным числом угловых точек, т.е. многогранником или многоугольным множеством

2. Опт решением ЗЛП явл одна из угловых точек ОДР

3. Угловые точки ОДР алгебраически представляют некоторые базисные (опорные) решения системы ограничений задачи.

Основное содержание симплексного метода:

Найти нач опорн реш;

Осущ переход от опорного к оптимальному;

Определить критерии завершения процесса решения задачи, позволяющие своевременно прекратить перебор решений на оптимальном или сделать заключение об отсутствии реш-я

*привести к канонич виду при необходимости

*найти начальное опорное решение. Если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решений ввиду несовместности сист огранич

*если выполняется признак единственности опт решения, то решение зад закончено

*если выполняется условие сущ бесконечности опт решений (в цел ф-ии есть 0 в столбце, соттв векторам не вошедших в базис), то выбираем в этом столбце разреш эл и решаем методом жордана-гауса

*если есть условия отсутствия опт решения(при выборе разреш элемента в столбце все эл ≤ 0), ввиду неограниченности целевой ф-ии

*если пункты 3-5 алгоритма не выполняя, то находим новое опорное решение и возвр к пункту 3

46. Теорема (об улучш.опор.реш-я). Если в задаче лин прогр-ния на max(min) хотя бы один из коэфф-ов целевой строки (-c_k) явл отрицательным (положительным), то опорное решение может быть улучшено, т.е. можно найти новое опорное решение, на котором значение целевой ф-ции будет больше (меньше).

Следствие №1(условие наискорейшего нахождения оптимума): Для обеспечения изменения целевой ф-ции в сторону оптимальности при переходе от одного опорного решения к другому, необходим ыбор в-ра, вводимого в базис опорного решения, производить из условия:

1) в задаче на max => - c_k <0.

2) в задаче на min => - c_k>0.

В случае нескольких вариантов выбираем столбец из условия: |min θ_k*c_k| = max

Следствие №2 Признак оптимальности опорного решения:

Опорное решение задачи лин прогр-ния на max (min) явл оптимальным, если все коэф-ты в целевой строке разрешен канонич задачи неотрицательны (неположительны).

Следствие №3 Признак единственности оптимал решения:

Оптимал решение задачи лин прогр-ния явл единственным, если все коэф-ты в целевой строке разрешен канонич задачи положительн (отрицательны).

Следствие №4 Признак существования бесконечного множ-ва оптимальных решений: Задача лин прогр-ния имеет бескон множество решений, если в целевой строке есть коэф-ты=0 в столбцах, соответствующих векторам, не входящим в базис.

Следствие №5 Признак отсутствия оптимальности решения ввиду неограниченности целевой функции: Задача лин прогр-ния не имеет решения ввиду неогранич целевой ф-ции, если при выборе разрешающего столбца, соответствующего обеспечению оптимальности решения все коэф-ты вектора условий отрицательны

47. Метод искусственного базиса. Методом искусственного базиса называется решение вспомогательной задачи линейного програмирования. Пусть исходная задача приведена к каноническому виду

L = C * x -> min

A * x = b

x => 0

тогда вспомогательной задачей называется задача вида

w = z(1) + ... + z(m) -> min

z(1) + a(1,1) * x(1) + ... + a(1,n) * x(n) = b(1)

.................................................

z(m) + a(m,1) * x(1) + ... + a(m,n) * x(n) = b(m)

где z(1) => 0, ... z(m) => 0

Из исходной задачи к вспомогательной можно перейти следующим образом. К каждому i-тому ограничению добавляется неотрицательная переменная z(i), которая называется искусственной переменной.Записывается целевая функция - сумма искусственных переменных -> min. Связь между решениями исходной задачи и вспомогательной 1) Если имеется допустимое решение исходной задачи, то это решение будет допустимым и для вспомогательной задачи если во вспомогательной задачи

z(1) = 0, ... z(m) = 0. Если получено допустимое решение вспомогательной задачи, в котором переменные z(1), ... z(m) небазисные то исключив переменные z(1), ... z(m)

мы получим допустимое решение исходной задачи, которое будет базисным решением исходной задачи. 2) Вспомогательная задача есть задача с выделенным базисом, к этой задаче можем сразу применить симплекс-метод. Особенность применения симплекс-метод состоит в следующем: как только все переменные z(1), ... z(m) станут небазисными будет получено оптимальное решение вспомогательной задачи. w= [z(i)] z(i) => 0 w" => 0, где w" - базисное допустимое решение исходной задачи. Если для w" > 0 существует z(i) > 0, тогда z(i) остается базисной. Так как это уже оптимальное решение, то нет возможности вывести переменную из базиса, значит в исходной задаче нет допустимого решения.