1. Определение матрицы. Перечислите основные виды матриц:

Матрицей называется прямоугольная таблица размерностью m на n, где m – число строк, n – число столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Обозначается матрица всегда заглавными (прописными) латинскими буквами. Элементы матрицы заключаются в круглые и квадратные скобки, обозначаются они строчными буквами с индексом ij, где i – строка, j – столбец. Элемент матрицы находится на пересечении i-строки и j-столбца.

Основные виды матриц:

Прямоугольная – состоит из m строк и n столбцов.

Строчная (матрица строка, вектор строка) – матрица, состоящая из одной строки.

Столбцовая (матрица столбец, вектор столбец) – матрица, состоящая из одного столбца.

Квадратная – матрица, у которой число строк и столбцов одинаковое.

Диагональная – квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали равны нулю (главную диагональ образую элементы, у которых i=j).

Единичная – диагональная матрица, у которой все элементы, находящиеся на главной диагонали равны единице.

Симметричная – матрица, у которой все элементы симметричны относительно главной диагонали.

Нулевая – матрица любой размерности, все элементы которой равны нулю.

Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя треугольная - левой треугольной.

Если матрица прямоугольная, то мы можем преобразовать её в квази-треугольную, ступенчатую или трапециевидную матрицу

2. Операции над матрицами:

Произведением матрицы А на число λ называется матрица B, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число λ.

Делить матрицы нельзя.

Суммой двух матриц А и В, с одинаковым количеством строк и столбцов, называется матрица С, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц слагаемых.

Умножение матриц определяется только для согласованных матриц. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если матрица А и В квадратные, то они всегда взаимно-согласованы.

Произведением матрицы Аmxk на матрицу Вkxn, называется матрица Сmxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В.

Свойства умножения матриц:

1.(А*В)*λ = (А*λ)*В = А*(В*λ), где λ – любое число

2.(А + В)*С = А*С + В*С

3.(А*В*С) = (В*С*А) – если матрицы согласованы между собой.

4.А*Е = Е*А = А, где Е – единичная матрица

5.А*О = О*А = О, где О – нулевая матрица.

Транспонирование матрицы осуществляется путём замены каждой её строки столбцом с тем же номером.

Свойства транспонирования матриц:

1.(А^т)^т = А

2.(А + В)^т = А^т + В^т

3.( λ*А)^т = λ*А^т

4.(А*В)^т = А^т*В^т, если матрицы согласованы между собой.