9. Ранг матрицы. Основные свойства ранга матрицы.

Рангом матрицы называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Обозначается ранг матрицы как: r, rang (A), Rang (A), Rg.

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков.

Ранг матрицы равен нулю, если все элементы данной матрицы равны нулю.

Для квадратной матрицы n-ного порядка, ранг матрицы равен n тогда и только тогда, если заданная матрица будет не вырожденная (определитель не равен нулю).

Основные свойства для вычисления ранга матрицы:

1). Ранг транспонированной матрицы всегда равен рангу исходной матрицы.

2). Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть или приписать нулевую строку или столбец.

3). Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы:

- отбрасывание нулевой строки или столбца

- умножение всех элементов строки или столбца на число, отличное от нуля.

- перестановка местами двух строк или столбцов.

- транспонирование матрицы

- прибавление к каждому элементу строки или столбца элемента другой строки или столбца, умноженного на const.

*замечание*

Для вычисления ранга матрицы можно не использовать метод окаймляющих миноров, а свести исходную матрицу к треугольному, диагональному или трапециевидному виду.

9. Модель межотраслевого баланса Леонтьева:

Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике, связанный с эффективностью сведения многоотраслевого хозяйства.

Каким должен быть объём производства каждой n-отрасли, чтобы удовлетворить все потребности в продукции данной отрасли, при этом каждая отрасль выступает как производителем некоторой продукции, так и как потребитель своей продукции и произведённой другими отраслями.

Связь между отраслями отражается в таблицах межотраслевого баланса.

Математическая модель, позволяющая её анализировать, разработана в 1936 году американским экономистом Леонтьевым.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например: за год).

x_ij – объём продукции i-отрасли, потребляемой j-отрасли в процессе производства.

y_i – объём конечного продукта i-отрасли.

x_i – общий объём продукции i-отрасли (валовой объём).

n

Х_i = Σ Х_ij + У_i – валовой объём

j=1 i-отрасли равен суммарному объёму продукции, потребляемой n отраслями, и конечному продукту.

a_ij = х_ij/x_j

x_ij = a_ij*x_j (линейная модель)

a_ij – коэффициент прямых затрат, показывает затраты продукции i-отрасли

, где A – матрица прямых затрат, X – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продукта.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в нахождении такого вектора валового выпуска X, который, при заданной матрице А, обеспечит вектор конечного продукта Y.

Х = АХ + Y

Х – АХ = Y

(Е – А)*Х = Y

Х = (Е – А)^-1* Y

(Е – А)^-1 = S – матрица полных затрат

|E – A| ≠ 0

Каждый элемент данной матрицы есть величина валового выпуска продукции i-отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта.

Оценка продуктивности матрицы А:

1). Матрица А называется продуктивной, если все её элементы

≥ 0, если для любого элемента Y ≥ 0, существует матрица Х, все элементы которой ≥ 0.

2). Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы, причём хотя бы для одного из столбцов строго меньше единицы. Это является проверкой рентабельности производства.

3). Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда существует матрица S и все её элементы ≥ 0.

12. N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел. N-мерным вектором называется последовательность   чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Линейные опреации:

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)

c,b=const c(ba)=(cb)a

(c+b)a=ca+ba

a+0=a

a+(-a)=0

a*1=a