39)Понятие и экономический смысл решения транспортных задач

Транспортные задачи – частный случай задач математического (линейного) программирования, многообразие их постановок и методы решения изложены в соответствующей математической литературе. Различают два вида математических транспортных задач – в виде “шахматки” и в сетевой постановке. В задачах  шахматного типа все ненулевые коэффициенты каждой строки исходной матрицы симплекс-таблицы имеют один и тот же знак, в задачах в сетевой постановке в матрице существуют строки, в которых встречаются как положительные, так и отрицательные ненулевые коэффициенты.

Математические модели любых транспортных задач ЛП обладают общими чертами, а именно,1) коэффициенты  целевой функции неотрицательны (стоимости перевозок не могут быть отрицательными величинами); 2) коэффициенты правых частей ограничений неотрицательны (запасы и потребности продукта); 3) коэффициенты в ограничениях принимают только два значения, это нули и единицы. В силу этих особенностей транспортная задача обладает следующими свойствами.

Теорема 1.Базисное решение закрытой модели транспортной задачи содержит m+n-1 базисных компонент. Доказательство.

Количество базисных компонент определяется число линейно-независимых ограничений задачи. В транспортной задаче не все m+n ограничений линейно-независимы. Действительно, сложив первые m ограничений и  следующие n ограничений задачи, получимпоэтому получаем, что нетривиальная линейная комбинация строк ограничений (линейная комбинация с ненулевыми коэффициентами) равна нулю. Это означает, что среди ограничений задачи есть линейно-зависимое ограничение. Следовательно, число линейно-независимых ограничений равно  m+n-1 и базис задачи состоит из m+n-1 компонент.

Теорема доказана. В силу специфики содержательной постановки транспортной задачи допустимое решение называется планом, базисное допустимое решение называется опорным планом, оптимальное решение называетсяоптимальным планом. Теорема 2.

Оптимальный план закрытой модели транспортной задачи существует всегда. Доказательство.Оптимальное решение задачи ЛП существует, если, во-первых, существует допустимое решение и, во-вторых, целевая функция ограничена на этом допустимом решении.

Методы решения транспортной задачи сводятся к простым операциям с транспортной таблицейБазисными клетками транспортной таблицы являются клетки с отличными от нуля положительными перевозками, остальные клетки -  свободные. Базисные клетки образуют опорный план транспортной задачи, если выполняются два условия:1) сумма перевозок в каждой строке равна запасу в данной

строке;2) сумма перевозок в каждом столбце равна соответствующему

столбцу спросуОпорный план транспортной задачи содержит не более n+m-1отличных от нуля перевозок             Опорный план называется вырожденным, если число ненулевых перевозок

                         меньше и n+m-1, опорный план - невырожден, если число ненулевых перевозок равно n+m-1.

40) Оптимизационные модели в экономике(модель раскроя материалов)

Модели оптимального раскроя промышленных материалов. Сущность оптимального раскроя состоит в разработке таких технологически допустимых раскройных планов, при которых из стандартных единиц раскраиваемых ресурсов получается необходимый комплект заготовок требуемого размера, а критерий оптимальности заключается в сведении к минимуму либо общей величины отходов кроя, либо количества раскраиваемых единиц ресурсов.Формулировка задачи оптимального раскроя зависит от формы раскраиваемого материала, который может быть длинномерным, листовым, рулонным и т.д. Сформулируем экономико-математическую модель задачи оптимального раскроя по одному измерению длинномерных материалов (прутков, труб, профильного проката и др.). Примем следующие обозначения:L – длина исходного материала;i – номер (индекс) вида требуемых заготовок, i = 1, 2 ... т;li – длина заготовки i-го вида;Аi – требуемое число заготовок i-го вида (не менее);j - номер варианта раскроя, j = 1, 2 ... n;aj – количество заготовок i-го вида при раскрое единицы исходного материала по j-му варианту;сij – длина отхода по j-му варианту.Пусть х1 - количество единиц исходного материала, раскраиваемых по i-му варианту. Целевая функция по критерию минимума отходов имеет вид:

По критерию минимума раскраиваемых единиц исходного материала уравнение может быть таким:

Это верно при соблюдении следующих условий:

Получилась задача линейного программирования, которую надо пополнить требованием целочисленности величины хj.Заметим, что во многих случаях решения задач с обеими указанными целевыми функциями совпадают.Наиболее трудоемкий этап в процессе построения модели рассматриваемой задачи заключается в определении всех возможных вариантов раскроя. Исходные соотношения для составления вариантов раскроя следующие:Условие (25.46) означает, что длина отхода для любого варианта раскроя должна быть меньше, длины самой короткой заготовки (это является признаком полноценности варианта).