6. Вычисление спектральной плотности импульсных сигналов с помощью бпф

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)

Дискретное преобразование Фурье преобразует набор чисел в набор чисел , такой, что , где и при .

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

или

,

где х — значение изменяющейся величины, t — время, остальные параметры — постоянные: А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний,  — полная фаза колебаний,  — начальная фаза колебаний.

Гармонический сигнал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Гармонический сигнал — это гармонические колебания со временем распространяющиеся в пространстве, которые несут в себе информацию или какие-то данные и описываются уравнением:

где А — амплитуда сигнала;

 — фаза гармонического сигнала;

— время;

 — циклическая частота сигнала;

Тем не менее, часто используют комплексную запись сигнала^[1]:

Модель гармонического сигнала используется при разложении сигналов в тригонометрический ряд Фурье.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

Виды колебаний

Эволюция во времени перемещения, скорости и ускорения при гармоническом движении

• Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).

• Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной)

Уже неоднократно обсуждалось, что любой процесс можно представить двояко — во временной или в частотной области. На экране осциллографа мы видим графическую зависимость уровня исследуемого процесса от времени — это есть временное представление. На экране анализатора спектра, мы видим зависимость уровня того же процесса от частоты — это есть частотное представление.

При оценке нелинейных искажений очень полезно иметь спектр исследуемого сигнала, однако, как уже говорилось выше, анализатор спектра прибор дорогой и сложный. Однако, при помощи звуковой карты и несложного программного обеспечения, в анализатор спектра (конечно, далеко не самый хороший, но вполне приемлемый) нетрудно превратить обычный персональный компьютер. Основное преимущество цифрового представления сигналов, — это возможность применения для их обработки сложных математических алгоритмов. Аналитическая взаимосвязь между временным и частотным представлением процессов была установлена выдающимся математиком Фурье, и такое преобразование носит его имя.

Вычислительный алгоритм, лежащий в основе работы программных средств по обработке оцифрованных звуковых сигналов, осуществляющий их преобразование из временной формы представления в частотную, носит название быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Алгоритм БПФ, не смотря на его крайне широкое применение, тоже имеет свои особенности и ограничения. В частности, вся математика БПФ построена на предположении, что обрабатываемый сигнал является периодически повторяющимся процессом. Это предположение может показаться тривиальным, но оно имеет важные последствия.

Любые реальные сигналы всегда случайны и далеко не всегда периодичны. В реальном сигнале очень трудно выделить один период с достаточной точностью, что вызовет существенную погрешность при обработки с помощью БПФ. Для уменьшения этой ошибки, обработку производят не по одному периоду, а по значительно большему их количеству. При этом точность обработки существенно повышается, но она требует серьезных аппаратных ресурсов, поскольку требуется одновременная запись в память большого количества кодовых слов, пропорционального количеству одновременно обрабатываемых периодов.

Значительным событием в развитии ЦОС (ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ) было открытие в 1965 г. эффективных алгоритмов для вычислений преобразований Фурье. Этот класс алгоритмов стал известен как быстрое преобразование Фурье (БПФ). Значимость этого открытия состоит в следующем. Составной частью ЦОС является спектральный анализ сигналов.

В спектральном анализе основным математическим аппаратом является преобразование Фурье, на вычисление которого тратилась значительная часть машинного времени. Алгоритм быстрого преобразования Фурье уменьшил время вычисления преобразования Фурье на несколько порядков. Это позволило создать очень сложные алгоритмы обработки сигналов в реальном времени.

Зависимость спектра периодической последовательности импульсов от периода, Как связана длительность импульса с его спектром

Короче импульс - шире спектр. ф=1/т. спектр одиночного импульса непрерывный, а последовательности - линейчатый.

Чаще импульсы - реже составляющие спектра ф=1/т. Длительность импульсов определяет огибающую спекра, а частота импульсов - заполнение

Что такое спектральная плотность сигнала

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

Пусть сигнал s(t) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t1 ,t2) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T, включающий в себя интервал (t1 ,t2).

потом мы находим s(t) с помощью разложения п ряду Фурье бляяяяяя и затем в пределе получаем

т.е.

*

Пределы интегрирования можно для общности поставить бесконечными, так как все равно там, где s(t) равна нулю, и интеграл равен нулю.

Выражение для спектральной плотности называют прямым преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье определяет временную функцию сигнала по его спектральной плотности:

**

Прямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент

называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.

Смысл модуля S(w ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность - [сигнал/частота].