Связь корреляционной функции и спектральной плотности мощности;
Спектральная плотность мощности (СПМ) в физике и обработке сигналов — функция, задающая распределение мощности сигнала по частотам. Её значение имеет размерность мощности, делённой на частоту, то есть энергии.
Формальное определение
Пусть — сигнал, рассматриваемый на промежутке времени . Тогда энергия сигнала на данном интервале равна Тогда
= = = ,
где — спектральная функция сигнала. При , средняя мощность
.
— спектральная плотность мощности (функция плотности спектра мощности).
Спектр плотности мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектры плотности мощности.
Корреляционная функция — функция времени или пространственных координат, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами.
Зависящая от времени корреляция двух случайных функций X(t) и Y(t) определяется, как
,
где угловые скобки обозначают процедуру усреднения.
Если корреляционная функция вычисляется для одного и того же процесса, она называется автокорреляционной:
.
Аналогично, можно вычислить корреляционную функцию для процессов, происходящих в разных точках пространства в различные моменты времени:
.
Корреляционные функции широко используются в статистической физике и других дисциплинах, изучающих случайные (стохастические) процессы.
29. Корреляционная функция белого шума на выходе фильтра низких частот
Корреляционная функция белого шума на выходе фильтра низких частот;
«Белый шум» и его функция корреляции.
Полезной математической идеализацией широкополосного процесса является процесс, спектральная плотность которого
равномерна во всей области частот. Такой процесс называется белым шумом. Корреляционная функция белого шума равна
т.е. представляет собой дельта-функцию в начале координат. Коэффициент корреляции для белого шума равен
(3.3.13)
Следовательно, для белого шума значения процесса в любые сколь угодно близкие моменты времени не коррелированы. Поэтому белый шум иногда называют абсолютно случайным процессом.
На практике часто приходится рассматривать прохождение широкополосного процесса через различные радиотехнические устройства, полоса пропускания которых ограничена и много уже ширины энергетического спектра входного процесса. В этом случае замена реального процесса идеальным белым шумом не вносит существенных погрешностей, значительно упрощая при этом математические выкладки.
Отметим еще, что понятие "белый шум'' относится только к спектральной картине случайного процесса и не затрагивает вопроса о законах распределения. Как уже отмечалось выше, случайные процессы могут иметь одинаковые корреляционные функции и, следовательно, энергетические спектры, но различные законы распределения. Так и белые шумы с одинаковыми энергетическими спектрами могут иметь различные законы распределения.