7. Условная вероятность

Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трёх очков. Какова вероятность того, что выпало чётное число очков?

Зная, что выпало более трёх очков, мы можем сузить множество всех возможных элементарных исходов до трёх одинаково вероятных исходов: , из которых событию благоприятствуют ровно два: . Поэтому .

Посмотрим на вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек: . Слова «известно, что выпало более трёх очков» означают, что в эксперименте произошло событие . Слова «какова при этом вероятность того, что выпало чётное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении происходит и . Вероятность события , вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие произошло), мы будем обозначать через .

Мы хотим найти, какую часть составляют исходы, благоприятствующие внутри (т.е. одновременно и ), среди исходов, благоприятствующих  .

Мы пришли к выражению, которое можно считать определением условной вероятности.

Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называется число

Условная вероятность определена только в случае, когда .

Это определение бывает полезно использовать не для вычисления условной вероятности, а для последовательного вычисления вероятности нескольким событиям случиться одновременно, если известны соответствующие условные вероятности. А именно, справедливы следующие «теоремы умножения вероятностей».

Теорема. Если и , то

Теорема. Для любых событий верно равенство:

если все участвующие в нём условные вероятности определены.

Теорема умножения. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р (АВ) = Р (А) Р_A (В). (*) 

Доказательство. (Замечание). Применив формулу (*) к событию ВА, получим

Р (ВА) = Р (В) Р_B (А),

или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,

Р(АВ) = Р (В) Р_B (А).     (**)

Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства

Р (А) Р_A (В) = Р (В) Р_B (А).     (***)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

где является вероятностью события A_n, вычисленной в предположении, что события А₁,А₂,..., А_{n — 1} наступили. В частности, для трех событий

Р (AВС) = Р (А) Р_A (В) Р_AB (С).

Попарная независимость событий, т.е. Р(А_i A_j) = P(A_i)P(A_j) при i не совпадающем с j, не влечет, вообще говоря, совместную независимость событий А₁, А₂,..., А_n.

8. Независимость событий в совокупности

События из произвольного множества называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества событий

из попарной независимости событий не следует их независимость в совокупности.