31. Слабая сходимость последовательности случайных величин и её свойства.

Пусть задана последовательность случайных величин , задано некоторое распределение с функцией распределения и пусть — произвольная случайная величина, имеющая распределение .

Определение. Говорят, что последовательность случайных величин сходится слабо или по распределению к случайной величине и пишут: , если для любого такого, что функция распределения непрерывна в точке , имеет место сходимость

при .

Итак, слабая сходимость — это сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Свойства:

1. Если , и функция распределения непрерывна в точках и , то . Наоборот, если во всех точках и непрерывности функции распределения имеет место сходимость , то .

2. Если , то .

3. Если , то .

32. Соотношения между слабой сходимостью случайных величин и сходимостью по вероятности.

33. Центральная предельная теорема. Различные формулировки центральной предельной теоремы.

Классическая формулировка Ц.П.Т.

Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние и , соответственно. Пусть также

.

Тогда

по распределению при ,

где — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

по распределению при .

Скорость сходимости можно оценить с помощью неравенства Берри-Эссеена.

Замечания

• Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к . Эквивалентно, имеет распределение близкое к .

• Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив , получаем , где — функция распределения стандартного нормального распределения.

• Центральная предельная теорема в классической формулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).

• Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае имеет место.

Локальная Ц.П.Т.

В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение также абсолютно непрерывно, и более того,

при ,

где - плотность случайной величины , а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

Ц.П.Т. Линдеберга

Пусть независимые случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: . Как и прежде построим частичные суммы . Тогда в частности, . Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга:

Тогда

по распределению при

Ц.П.Т. Ляпунова

Пусть выполнены базовые предположения Ц.П.Т. Линдеберга. Пусть случайные величины имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность

. Если предел

(условие Ляпунова),

то

по распределению при .

Пример. Монета подбрасывается 10000 раз. Оценим вероятность того, что частота выпадения герба отличается от половины на одну сотую или более.

Решение. Требуется найти , где , — число выпадений герба, а — независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Вычислим вероятность дополнительного события. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на и поделим на корень из дисперсии .

Искомая вероятность примерно равна 0,0456:

Центральной предельной теоремой пользуются для приближённого вычисления вероятностей, связанных с суммами большого числа независимых и одинаково распределённых величин. При этом распределение центрированной и нормированной суммы заменяют на стандартное нормальное распределение.

Пы. Сы.

Дискретные распределения

Математическое ожидание случайной величины, которая может принимать значения x₁, x₂, ..., x_k с вероятностями p₁, p₂, ..., p_k:

Дисперсия такой величины:

Среднеквадратичное отклонение:

Геометрическое распределение:

Биномиальное распределение:

M = N p

D = N p (1 – p)

Распределение Пуассона:

M = λ

D = λ

Непрерывные распределения

p (dx) = φ (x) dx

Плотность вероятности:

Вероятность попадания случайной величины в промежуток [x₁; x₂]:

Нормировка плотности вероятности:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Постоянное распределение:

Показательное распределение:

Нормальное распределение:

Mx = a

Dx = σ2

Логарифмически-нормальное распределение: