11.Канонические уравнения метода перемещений (вывод уравнений, их смысл, смысл входящих в них величин).

Предположим, что мы имеем дело с системой, степень кине­матической неопределимости которой n; к ней приложена произ­вольная внешняя нагрузка. Чтобы устранить все независимые перемещения узлов Z₁, Z₂, ..., Z_n, наложим n связей. Полученная основная система должна быть эквивалентна заданной, а в задан­ной системе этих связей нет. Следовательно, полные реакции во введенных связях должны отсутствовать: R1=0:R2=0;Rn=0 (9.3)

Развернем каждое из равенств (9.3), применив принцип су­перпозиции. Например, для реакции в первой связи получим вы­ражение:

R1 = r_nZ_x + r12Z2 + ... + r_uZi + ... + r^Zn + R_lp ,

где r_1i - реакция в 1-ой дополнительной связи от единичного пе­ремещения 7-ой связи (или от Z_i = 1); R\_p - грузовая реакция в 1- ой связи, т. е. реакция от внешней нагрузки, приложенной к ос­новной системе.

Раскрывая аналогично каждую реакцию и приравнивая ее к нулю, получаем:

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (9.4) представляет собой систему канонических уравнений метода перемещений. Неизвестными в ней являются перемещения узлов Zi, Z₂, ..., Z_n. Здесь единичные реакции r_ki (k, i = 1, 2, ..., n) пред­ставляют собой коэффициенты этой системы. Коэффициенты с одинаковыми индексами (r₁₁, r₂₂, ..., r_nn), расположенные на глав­ной диагонали, называются главными, остальные - побочными. Грузовые реакции R_kp являются свободными членами СЛАУ.

Главные единичные реакции всегда положительны (это будет доказано позже). Побочные единичные реакции на основании первой теоремы Рэлея (см. п. 6.9.4) обладают свойством взаимно­сти (r_ki = r_ik). Они, а также грузовые реакции R_kp, могут иметь любой знак, а также быть равными нулю.

Подобно коэффициенту в уравнениях метода сил, в обо­значении реакции r_ki первый индекс (k) указывает номер допол­нительной связи, в которой вычисляется реакция, а второй (i) - номер связи, единичное смещение которой вызывает эту реакцию (k - где возникает реакция, i - от чего).

В зависимости от типов дополнительных связей различают два типа реакций: реактивные моменты, возникающие в плавающих заделках; реактивные силы, возникающие в опорных стержнях.

Физический смысл k-го уравнения заключается в том, что суммарная реакция в k-ой дополнительной связи от всех воздей­ствий на основную систему (перемещений Z₁, Z₂, ..., Z_n и внешней нагрузки) равна нулю.

По сути, канонические уравнения метода перемещений - это уравнения равновесия системы в деформированном состоянии. Они выражают условия равновесия узлов и отдельных частей системы.

12.Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений статическим методом.

Существует два метода нахождения единичных и грузовых ре­акций: статический и общий (кинематический).

Статический метод определения реакций. Так как коэф­фициенты и свободные члены канонических уравнений есть ре­акции связей основной системы - силы и моменты, то они могут быть определены из уравнений статического равновесия узлов и отдельных частей конструкции.

Если Z₁ - угол поворота (см. рисунок 9.8), то связь 1 - пла­вающая заделка, а реакции этой связи г₁₁, г₁₂, ..., r_1n , R_1p - мо­менты; если Z₂ - горизонтальное перемещение, то связь 2 - го­ризонтальный стержень, а реакции этой связи r₂₁, r₂₂, ..., r_2n, R_2p - горизонтальные силы.

Для определения моментнои реакции необходимо вырезать узел основной системы и рассмотреть его равновесие, составив уравнение в виде суммы моментов сил, приложенных к узлу (ри­сунок 9.9, а).

Чтобы найти силовую реакцию, следует отсечь часть основной системы, содержащую эту реакцию, и составить уравнение ее равновесия в виде суммы проекций всех сил на какую-либо ось (рисунок 9.9, б).

Предварительно необходимо построить эпюры в основной сис­теме от единичных перемещений (в единичных состояниях) и за­данной внешней нагрузки (в грузовом состоянии), пользуясь вспомогательными таблицами (см. Приложение).

Направление определяемых единичных и грузовых реакций всегда совпадает с направлением перемещения данной связи. На­пример, реакции r₁₁, r₁₂, ..., r_1n , R_1p необходимо направить в ту же сторону, что и Z₁.

Статический метод прост, нагляден и удобен, он позволяет изобразить каждую реакцию на расчетной схеме в виде силы или момента и таким образом избежать ошибок при расчете. Однако в некоторых случаях он неприменим.

Например, для рамы с наклонными стойками в уравнения проекций на оси координат войдут не только поперечные, но и продольные силы (рисунок 9.10). Попе­речные силы легко найти по таблицам, однако продольные при использовании допущения об абсолютной жесткости стержней определить гораздо сложнее.

В случаях, когда составление уравне­ний равновесия громоздко, для определе ния реакций используют общий метод, основанный на перемножении эпюр.