Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

shpory_sopromat_2_kurs_1_sem_starovoytov

.docx
Скачиваний:
76
Добавлен:
22.02.2016
Размер:
13.61 Mб
Скачать

1.1 Основные понятия сопромата - это инженерная наука о мето­дах расчета наиболее распространенных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлет­ворении требований надежности и экономичности.

Прочность — способность материала или конструкции воспри­нимать внешние воздействия (нагрузки, температурные перепады, просадки грунтов и т. п.), не разрушаясь и не претерпевая беспре­пятственного деформирования.

Жесткость способность конструктивных элементов деформи­роваться при внешнем воздействии без существенного изменения геометрических размеров.

Устойчивость - способность конструкций и их элементов со­хранять под нагрузкой первоначальные форму и положение равно­весия.

Надежной считается конструкция, которая сохраняет свою экс­плуатационную способность (прочность, жесткость, устойчивость) в течение заранее предусмотренного промежутка времени.

Механика материалов позволяет установить в каждом конкрет­ном случае оптимальные размеры элементов, при которых надеж­ность обеспечивается без лишних запасов, удовлетворяя экономиче­скую сторону проблемы.

Основной задачей механики материалов является создание прак­тически удобных простых приемов расчета типичных, наиболее час­то встречающихся элементов конструкций. Эта задача решается с использованием теоретических гипотез и экспериментальных дан­ных, имеющих в механике материалов одинаково большое значение

    1. Гипотезы и допущения механики материалов

1))Гипотеза сплошности и однородности: материал представляет собой однородную сплошную среду; свойства материала во всех точках тела одинаковы и не зависят от размеров тела.

Сплошная среда - это такая среда, которая непрерывно (без пус­тот) заполняет отведенный ей объем. Свойство непрерывности по­зволяет использовать в расчетах методы анализа бесконечно малых величин (дифференциальное и интегральное исчисление).

2)Гипотеза об изотропности материала: физико-меха­нические свойства материала одинаковы по всем направлениям.

Если из изотропного материала выделить куб, его свойства не будут зависеть от того, как именно был ориентирован этот куб по отношению ко всему остальному материалу.

3Гипотеза об идеальной упругости материала:тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию (снятия нагрузки, температурных, электромагнитных и др. полей). позволяет не учитывать малые остаточные деформации, неизбежно присутствующие в реальных материалах.

4)Гипотеза (допущение) о малости деформаций: деформации в точках тела считаются настолько малыми, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение на­грузок, приложенных к телу.

Эта гипотеза позволяет вести расчеты по недеформированной схеме, т. е. при составлении уравнений равновесия конструкцию рассматривают как недеформируемое тело, имеющее после нагру­жения те же геометрические размеры, что и до нагружения.. Он справедлив для жестких элементов и систем, рассматриваемых в механике мате­риалов.

5)Допущение о справедливости закона Гука: пере­мещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения. Системы, подчиняющиеся такой закономерности, называются линейно деформируемыми.

6)Принцип независимости действия сил (суперпози­ции): результат воздействия нескольких внешних факторов равен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит от последовательности их приложения.

7. Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернули): поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси после деформации.

8. Принцип Сен-Ванана: в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит т конкретного способа нагружения и определения только статическим эквивалентом нагрузки.

1.3. Внешние силы. Внутренние усилия в стержнях

Под стержнем понимается тело, длина которого много больше его поперечных размером. Осевая линия - геометрическое место центров тяжести поперечных сечений. Стержень, работающий на изгиб, часто называют брусом или балкой.

Внешние силы. Все внешние сило­вые воздействия будем называть нагрузками.По способу приложения нагрузки могут быть объемными и по­верхностными. Объемные силы непрерывно распределены по всему объему тела и приложены к каждой его частице. К ним, на­пример, относятся силы веса (гравитационные силы), инерции, электромагнитного притяжения. Поверхностные нагрузки (силы) приложены к участкам поверхности и характ. контактное взаимодействие с другими телами. К ним относятся: давление жидкости или газа на стенки сосуда, снеговая или ветро­вая нагрузка и т.п. Поверхностные нагрузки могут быть сосре­доточенными (приложенными в точке) и распределенными по длине (погонные силы) или по площади.

По характеру изменения в процессе приложения различают на­грузки статические, динамические и повторно-переменные.

Статические нагрузки не изменяются со временем или меняются настолько медленно, что вызываемые ими ускорения и силы инерции пренебрежимо малы (например, снеговая нагрузка).

Динамические нагрузки изменяют свое значение, положе­ние или направление в короткие промежутки времени, вызывая большие ускорения и силы инерции (движущиеся, ударные нагруз­ки и др.). Динамическое воздействие более опасно, чем статическое., Работа внешних сил, действующих на твердое тело, преобразуется в потенциальную и кинетическую энергию. При статическом нагружении кинетическая энергия пренебрежимо мала. При дина­мическом воздействии КЭ соизмерима с потенциальной.

Повторно-переменные нагрузки многократно (до нескольких миллионов раз) изменяют со временем свое значение или значение и знак. Разрушение материала под действием таких нагрузок называется усталостным (например, разрушение куска проволоки от многократного перегибания). По продолжительности действия различают постоянные и временные нагрузки. Постоянные нагрузки действуют непре­рывно в течение всего срока службы сооружения, не меняя ни ве­личины, ни направления (например, собственный вес). Временные нагрузки действуют на протяжении отдельных периодов эксплуатации или создания объекта (нагрузки от веса людей, оборудования, температурные, монтажные воздействия и т. д.).

Внутренние силы.. Внешние силы стремятся вызвать деформирование тела путем изменения межатомных расстояний, взаимного расположения атомов и сил их взаимодействия. Сопромат рассматривает поведение макрообъемов материала, которые позволяют считать материал сплошным и однородным (см. п. 1.2). Сплошное однородное тело не имеет в своем составе взаимодействующих частиц, его целостность обеспе­чивают внутренние связи. Из теоретической механики известна аксиома связей: равновесие тела сохранится, если действие свя­зей, закрепляющих тело в пространстве, заменить их реакциями.

Внутренние силы в стержне определяют методом сечений:

1)мысленно рассекают стержень в интересующем месте плоско­стью; 2)отбрасывают одну из образовавшихся частей, в результате чего нарушается равновесие оставшейся части; 3)заменяют действие отброшенной части на оставшуюся внутрен­ними усилиями; 4)составляют уравнения равновесия всех сил, приложенных к ос­тавшейся части.

Полученные статические эквиваленты внутренних сил в сечении раскладываются в декартовой системе координат следующим образом.

1. 4 Напряжения в точке тела

Определение внутренних сил в сечениях конструкции необходимо,прежде всего, для оценки его прочности.

Выделим вокруг произвольной точки сечения А площадку ∆А (рис 1.4, а), а равнодействующую внутренних сил на этой площадке обозначим ∆R. Отношение

Pm =∆R/∆А представляет собой среднее напряжение на указанной площадке. При уменьше­нии размеров площадки (стягивании ее в данную точку) в пределе получается на­пряжение в точке рассматриваемого се­чения

Вектор р называют полным на­пряжением в рассматриваемой точке сечения. Эта векторная величина явля­ется мерой интенсивности внутренних сил.

В Международной системе единиц (СИ) для измерения напряжений прини­мается паскаль; 1 Па = 1 Н /м2. Одна­ко эта единица мала, и в практических расчетах используют кратную единицу мегапаскаль (1 МПа = 106 Па).

Нормальные и касательные напряжения. Вектор напряжения р можно разложить по введенным ранее осям координат на нормальное напряжение а, перпендикулярное к сечению, и два каса­тельных напряжения τх, τy, лежащих в плоскости сечения (рис 1.4, б):

Связь напряжений с внутренними усилиями. Введенные ра­нее внутренние силы и моменты являются статическим эквивален­том напряжений, действующих по всему сечению. Следовательно, их связь мы получим, суммируя по всей площади сечения элементарные силы или вычисляя моменты этих сил относительно осей координат

Полученные выражения (1.1) для практических расчетов непо­средственно использовать нельзя, так как закон распределения на­пряжений по сечению неизвестен. Если же, пользуясь теми или ины­ми соображениями, удается установить закон распределения а и т по сечению, то по формулам (1.1) можно найти и сами напряжения.

1.5 Перемещения и деформации

Под действием внешних сил твердые тела изменяют свою геометрическую форму, то есть деформируются. Если в теоретической механике тела считаются абсолютно жесткими, то в сопротивлении материалов тела обладают способностью деформироваться, т.е. под действием внешней нагрузки изменять свои начальные размеры и форму. Точки тела при этом неодинаково перемещаются в пространстве. Вектор , имеющий свое начало в точке А недеформированного состояния, а конец в т. A деформированного состояния, называется вектором полного перемещения т. А (рис. 1.8, а). Его проекции на оси xyz называются осевыми перемещениями и обозначаются u, v и w, соответственно.

Пусть в результате изменения формы тела эти точки переместились в положение  и , соответственно, а расстояние между ними увеличилось на величину S и составило S + S. Величина

называется линейной деформацией в точке А по направлению АВ. Если рассматривать деформации по направлениям координатных осей xyz, то в обозначения соответствующих проекций линейной деформации вводятся индексы .

Линейные деформации  характеризуют изменения объема тела в процессе деформирования, а формоизменения тела  угловыми деформациями. Для их определения рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном состоянии двумя отрезками ОD и ОС (рис. 1.8, б). При действии внешних сил указанный угол DOC изменится и примет новое значение D’O’C’ . Величина

называется угловой деформацией, или сдвигом в точке О в плоскости СОD. Относительно координатных осей деформации сдвига обозначаются .

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям в данной точке образует деформированное состояние в точке.

1.6 Опоры. Расчетная схема сооружения

1.7 Статически определимые и неопределимые системы

2.1 Внутренние силы и напряжение

Нагрузка может быть приложена к стержню различными способами (рисунок 2.1, а), однако во всех случаях система внешних сил образует равнодействующую F, направленную вдоль оси стержня. Если воспользуемся методом сечений, то получим, что во всех поперечных сечениях возникают только продольные силы N (рисунок 2.1, б). Растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие - отрицательными.

Сжатие отличается от растяжения формально только знаком силы N. Однако^ разрушение материалов при растяжении качественно отличается от разрушения при сжатии.

Нормальные напряжения. Продольная сила N является равнодействующей элементарных внутренних сил в сечении растянутого стержня она связана с нормальными напряжениями зависимостью Данное выражение может быть удовлетворено при бесконечно большом числе вариантов распределения напряжений с в сечении. Поэтому задача определения напряжений статически неопределима, пока неизвестен закон их распределения по сечению.

Используя принцип Сен-Венана и условие однородности стержня, предполагаем, что внутренние силы распределены по поперечному сечению равномерно. Следовательно, нормальные напряжения ст при центральном растяжении-сжатии во всех точках сечения одинаковы. Это позволяет в выражении для N вынести а за знак интеграла: Отсюда Замечание. Если по длине стержня продольная сила N и площадь сечения А постоянны, то в стержне возникает однородное напряженное состояние, т. е. напряжения одинаковы во всех точках всех поперечных сечений.

Если же по длине стержня площадь поперечного сечения А переменна или вдоль оси приложены внешние нагрузки, то напряжения будут различными для разных поперечных сечений. Напряженное состояние в стержне будет неоднородным.

2.2 Деформации

Продольные деформации. Величину ∆l называют абсолютным удлинением стержня. Вследствие однородного напряженного состояния все участки растянутого стержня находятся в одинаковых условиях, поэтому и линейная деформация е по оси стержня будет постоянной, равной своему среднему значению: Эта величина называется относительным удлинением {относительной деформацией) стержня. Если в стержне возн неоднородное напряженное состояние, то дефор в сесчении:

Поперечные деформации. Наблюдения показывают, что удлинение стержня в направлении оси z сопровождается уменьшением его поперечных размеров . при растяжении возникает не только продольная , но и поперечная деформация . В пределах применимости закона Гука поперечная деформация пропорциональна продольной:

Коэффициент Пуассона - это безразмерная константа упругости материала, определяемая экспериментально. Для всех металлов числовые значения v лежат в пределах 0,25-0,35. Для других однородных материалов выполняется условие 0 < v < 0,5.

2.3 Закон Гука при растяжении-сжатии

Напряжения и деформации линейно связаны между собой законом Гука, который подтвержден экспериментально и при растяжении-сжатии стержня имеет вид Модуль Юнга - это физическая константа материала, которая определяется экспериментально. Измеряется в паскалях.

Модуль Юнга и коэфф пуассона являются независимыми друг от друга и полностью описывают упругие свойства однородного изотропного материала.

'Закон Гука с учетом изменения температуры.

где а - коэффициент линейного температурного расширения материала.

2.4 Перемещения при растяжении-сжатии

Удлинение участка стержня.

Перемещения сечений стержня.

Удлинение и-того участка стержня:

Перемещение сечения стержня, находящегося на границе и-того участка, состоит из удлинения этого участка и перемещения его как единого целого за счет деформирования предыдущих участков:

Полное удлинение стержня, состоящего из п участков, равно перемещению крайней точки последнего участка:

т. е. полное удлинение стержня, состоящего из нескольких участков, определяется алгебраическим суммированием удлинений участков.

2.5 Дифференциальное соотношение при растяжении-сжатии

Дифференциальные соотношение между интенсивностью распределенной нагрузки и продольной силой при растяжении и сжатии:

2.6 Потенциальная энергия деформации

При нагружении тела внешние силы совершают работу W, которая идет: 1)на сообщение скорости массе тела, т.е. кинетич. энергия K и 2) накапливается в виде потенц. Энергии деформации U. Уравнение энергетического баланса W=K+U

Если нагрузка прикладывается статически (возрастает от нуля до конечного значения медленно), то К=0 и W=U

При соблюдении з-на Гука сила F линейно возрастает от 0 до своего конечного результата.Поэтому работа численно равно площади заштрихованного треугольника:

теорема клайперона

l=Nl/EA, получаем U=N2l/2EA – ф-ла применима только к брусьям пост. сеч в случае пост. продольной силы. При переменных значениях продольной силы N(z) и жесткости EA(z) потенц. энерг. опр.

2.7 Напряжения на наклонных площадках.

Напря­женное состояние рассматри­ваемого стержня при растяже­нии однородно, поэтому во всех точках наклонной площадки полные напряжения одинаковы и равны р, в поперечном сече­нии – (сигма)

Уравнение равновесия эле­мента стержня следующее:

где А-площ попер. сеч.,

- площ. наклонного сеч.( )

Отсюда полное напряжение на наклонной площадке

Раскладывая на нормальную и касательную составл.: и

или и

Следствия. Проанализируем некоторые частные случаи при­менения полученных соотношений:

1)если положить = 0, то из формул получим на­пряжения в поперечном сечении стержня: ;

2)в продольных сечениях ( = 90°) напряжения , т. е. продольные волокна друг на друга не давят;

3)касательные напряжения достигают максимума в сечениях под углом 45° к поперечному , при этом .

Касательные напряжения на двух взаимно пер­пендикулярных площадках растянутого стержня равны между со­бой по величине.

2.8 Механческие испытания материалов

К п л а стичным материалам можно отнести малоуглеродистые стали, алюминий, медь, латунь и некоторые другие. Они обладают способностью деформироваться в широких пределах без разрушения. Примерами хрупких материалов могут служить чугун, высоко­углеродистые стали, камень, бетон, металлокерамика, стекло. Хруп­кие материалы разрушаются без заметной предварительной дефор­мации. Промежуточное положение занимают малопластичные материалы - легированные стали, алюминиевые сплавы, бронзы.

Для пластичных материалов основны­ми являются испытания на растяжение, для хрупких - на сжатие. Механические испытания преследуют несколько целей:

1)установление механических характеристик материалов, которые определяют поведение конструкций под нагрузкой;

2)выяснение опытным путем справедливости различных гипотез и границ их практической применимости;

3)установление пределов применимости формул и методов сопро­тивления материалов для различных материалов.

Испытания на растяжение. Испытания на растяжение осуще­ствляются на специальных разрывных или универсальных маши­нах. Образец, закрепленный в захватах машины, подвергается при­нудительному удлинению путем перемещения одного из захватов. Растягивающая сила создается испытательными машинами меха­ническим или гидравлическим приводом. Основное требование при выборе конструкции образца: на той его части, где будут проводиться измерения, напряженное состоя­ние должно быть однородным (одинаковым). На основании принципа Сен- Венана деформация средней части образца однородна, т. к. не зави­сит от распределения нагрузки в зоне захвата.

В области однородности вы­бирают базу и устанавливают тензометры для замера упругих деформаций.

испытуемого образца и его площади поперечного сечения. Чтобы она характеризовала механические свойства материала, а не конкретного образца,

ее строят по машинной диаграмме растяжения в относительных координатах:

и где - принятая база

Испытания на сжатие. Испытания проводят на специальных прессах или на универсальных машинах и строят диаграммы сжа­тия. В опытах на сжатие используют образцы, выполненные в виде коротких цилиндров высотой ho < 3do (do - диаметр), кубиков и призм.

2.9 Диаграммы растяжения

Участок I- упругие деформации м-ла (з-н Гука).

- предел пропорцианальности. Модуль Юнга численно равен тангенсу угла на­клона к горизонтали участка 0А диаграммы растяжения.

Участо II: АВ- деформации упругие ( предел упругости)

Далее появляются пластические деформации.

В точке С начинается течение м-ла(процесс деформации без увелеч. нагрузки). CD- площадка текучети.( -предел текучести).

Участок III- происходит дальнейшая деформ. образца (зона упрочнения). -предел прочности. Это отношение наибольшей силы к первоначальной площади его попер. сеч.

Участок IV- начин. в К и х-ся образование шейки. Разрушение образца т.R.

Диаграмма растяжения без площадок текучести.

Большинство м-лов не имеет площадки текучести(участка II) (напр. алюминиевые сплавы). Для таких м-лов вводят понятие технический предел текучести –напряжение при котором остаточная деформация принимает примерно такое же значение, что и при наличии площадки текучести.

Диаграммы растяжения хрупких м-лов.

в пределах тех невысоких растяги­вающих напряжений, при которых хрупкие ма­териалы работают в конструкциях, криволиней- ность диаграммы незначительна и ею пренебре­гают, заменяя кривую секущей и считая

Е - const.

2.10 Упругие и пластические деформации

Предположим, что напряжение в испытываемом образце не превышает предела упругости σе. Если снять растягивающую нагрузку, то при разгрузке деформации будут уменьшаться по тому же закону, по какому они увеличивалась при нагружении. Процесс разгрузки изобразится линией ВАО на диаграмме (см. рисунок 2.16). Следовательно, в образце возникали упругие деформации ε = εе.

Если образец нагружен выше предела упругости, то при его разгрузке деформация полностью не исчезает. Она уменьшается только на величину своей упругой части. На диаграмме линия разгрузки представляет собой прямую LL'. В этом случае деформация образца определяется так:

Многочисленные испытания показывают, что при разгрузке прямая LL' практически параллельна первоначальному участку 0А. Это явление называют упругой разгрузкой.

Эффекты упрочнения. Если стальной образец подвергнуть растяжению до пластического состояния и затем разгрузить, то, как отмечалось выше, появится остаточная деформация. При повторном на-гружении после некоторого «отдыха» материала (перерыва) сталь опять начнет работать упруго, повторяя прямую разгрузки L'L и следуя затем диаграмме однократного растяжения LKR (см. рисунок 2.16). Предел пропорциональности, как нетрудно видеть, повышается (σ'pr > σpr), но полное удлинение уменьшается в результате необратимой пластической деформаций, приобретенной во время первого нагружения. Площадка текучести, если она была преодолена в процессе предыдущего цикла, при повторном нагружении не возникает, т. е. материал становится более жестким, упрочняется. Такое повышение упругих свойств называется наклепом.

При вторичном растяжении образец разрушается как типично хрупкий, так как его пластические свойства снижаются. При сжатии наклеп может быть полезен, как повышающий твердость и сопротивляемость вибрационным воздействиям. К наклепу прибегают и в случаях, когда необходимо снизить деформативность элементов. При необходимости наклеп устраняют термической обработкой.

Увеличение предела текучести материала при растяжении приводит, как правило, к уменьшению его при сжатии. Подобные изменения механических характеристик материала после пластического деформирования носит название эффекта Баушингера

2.11 Диаграммы сжатия

Диаграммы сжатия пластичных материалов. в упругой стадии и при малом развитии пластических деформаций диаграмма сжатия таких материалов полностью повторяет диаграмму растяжения ()и не дает никаких новых механических характеристик

. Пределы пропорциональности, упругости и текучести имеют те же значения. Их и модуль Юнга при растяжении и сжатии можно считать совпадающими.

Различия начинаются после предела текучести. Площадка текучести менее выражена, чем при растяжении. Сжатие сопровождается увеличением площади поперечного сечения образца, поэтому испытание требует постоянно возрастающей нагрузки.

Исследуемый образец (цилиндр) сначала принимает бочкообразную форму (рисунок 2.21), а затем, не разрушаясь, расплющивается. Дальнейшее испытание ограничивается возможностями испытательной машины.

Следовательно, определить предел прочности невозможно. В расчетной практике предел прочности на сжатие σис условно принимают таким же, как и на растяжение σut:

Диаграммы сжатия хрупких материалов. образцы доводят до разрушения, а предел прочности устанавливают, как при растяжении :

Диаграмма сжатия хрупкого материала по виду напоминает диаграмму растяжения (рисунок 2.22), но сопротивление сжатию в несколько раз больше, чем сопротивление растяжению ис » σut). Разрушение при сжатии происходит обычно путем сдвига одной части образца относительной другой. Плоскость сдвига в чугунном образце наклонена примерно под углом 45° к оси что объясняется действующими на ней максимальными касательными напряжениями.

2.12 Механические характеристики материалов

Механическими характеристиками конструкционных материалов называются величины, характеризующие их прочность, пластичность, твердость и т. д., а также модули упругости и коэффициент Пуассона.

Характеристики прочности. являются предел текучести σy„ и предел прочности σи при растяжении, хрупких - предел прочности при сжатии σис.

Характеристики пластичности.: ■ относительное остаточное удлинение при разрыве относительное остаточное сужение при разрыве

Энергетические характеристики. площадь всей диаграммы растяжения или сжатия характеризует полную работу, затраченную на разрушение образца.

Ударной вязкостью - величину, характеризующую способность материала сопротивляться действию ударных нагрузо

Твердостью - способность материала сопротивляться механическому проникновению в него другого тела. При испытании по Бринеллю стальной шарик, вдавливается определенной силой F в испытуемый материал. После этого измеряют диаметр полученного отпечатка/ При испытании по Роквеллу в материал вдавливают острый алмазный наконечник в виде конуса. !!! для разрушения пластичного материала необходимо затратить значительно больше работы, чем для разрушения хрупкого. Следовательно, если конструкция предназначена для восприятия динамических нагрузок, которые сопровождаются выделением большого количества энергии, предпочтение должно быть отдано пластичному материалу. Хрупкие материалы легко и быстро разрушаются от динамических, а особенно от ударных воздействий из-за своей недостаточной энергоемкости. С другой стороны, при статическом нагружении хрупкие материалы вполне работоспособны и надежны.

2.13 Инженерные методы расчета на прочность. Расчет по допускаемым напряжениям

Расчет по допускаемым напряжениям. У пластичных материалов опасное состояние характеризуется появлением значительных пластических деформаций, у хрупких - возникновением трещин. Для каждого материала устанавливается опасное (предельное) напряжение сцт:

Далее определяется допускаемое напряжение:

Условие прочности имеет вид:

2.14 Расчет по допускаемым нагрузкам

Метод расчета по допускаемым нагрузкам заключается в нахождении максимальной нагрузки, которую может выдержать конструкция, не разрушаясь и не претерпевая непрерывно нарастающих пластических деформаций. В основу метода положено установление предельного значения внешней нагрузки, которая может быть уравновешена внутренними силами.

Метод основан на использовании диаграммы Прандтля. Эта диаграмма описывает поведение идеально упруго-пластичного тела.

Последовательность определения допускаемой нагрузки:

  1. По расчетной схеме определяем максимальное напряжение в опасной точке

  2. Если достигают , то нагрузка называется опасной ( Опасной нагрузкой называется величина силы,при которой напряжение в опасной точке равно пределу текучести)

  3. Наступает такой момент, когда несущая способность конструкции исчерпывается, и рост нагрузки приводит к разрушению конструкции. Эта нагрузка будет являться предельной(нагрузка, дальнейший рост который вызовет разрушение конструкции)

  4. Определяем допустимую нагрузку

Где n – коэффициент запаса прочности(больше 1), который назначается из тех же соображений, что и при расчете по допускаемым напряжениям

Условие прочности имеет вид

[F] – внешняя нагрузка, действ на конструкцию в процессе эксплуатации

2.15расчет по предельным состояниям

Предельным состоянием - состояние конструкции, когда она теряет способность к сопротивлению внешним нагрузкам или ее эксплуатация становится затруднительной.) Предельные состояния подразделяются на две группы:

• первая группа (по потере несущей способности - полной непригодности к эксплуатации): хрупкое, пластичное, усталостное или иного характера разрушение; потеря устойчивости формы или положения

• вторая группа (по непригодности к нормальной эксплуатации ограниченности эксплуатации, предусмотренной проектом): появление недопустимо больших перемещений (прогибов, осадок), колебаний, трещин и т. п.

Цель расчета - оградить сооружение от появления при эксплуатации какого-либо вида предельного состояния.

Последовательность расчета по предельным состояниям. Определяем:

  1. Нормативные нагрузки. По нормативным документам устанавливаются нормативные нагрузки - наибольшие нагрузки при нормальной эксплуатации зданий и сооружений.

  2. Расчетные нагрузки - наибольшие нагрузки, которые могут появиться при случайном отклонении от нормативных нагрузок:

коэффициент надежности при нагрузке, обычно

  1. Нормативное сопротивление устанавливается по нормативным документам

  2. Расчетное сопротивление R - наименьшее возможное сопротивление материала за время эксплуатации конструкции. Его можно определить по формуле

- коэфф надежности по материалу(

- коэфф надежности по назначению(

  1. Максимальное напряжение в конструкции и проверяют условие прочности

- коэфф условий работы (

  1. Проверка выполнения Условия жесткости

допустимое условие перемещений

2.16 рассчеты стержней на растяжение сжатие

3 типа расчетов на прочность:

  • Поверочный расчет (если известны размеры стержней, внешние нагрузки и допускаемые напряжения)

  • Подбор размеров поперечных сечений( если известны внешние нагрузки и допускаемые напряжения

  • Определение грузоподъемности (если известны размеры сечений и допускаемые напряжения)

Расчеты на прочность с учетом пластических деформаций

План расчета:

3.1 Чистый сдвиг

3.2. Расчет соединений, работающих на сдвиг.

При расчете стрежней в сечениях возникают как нормальные так и касательные напряжения. В некоторых случаях касательные напряжения в разы больше нормальных, потому при расчетах нормальными напряжениями можно пренебречь.

Срез - вид деформации, при котором в сечении возникают только поперечные силы.

Срез реализуется при действии двух равных противоположно направленных близко расположенных сил.

Q=F.

Предположим, что по площади сечения распределено равномерно.

Условия прочности при сдвиге:

(по допускаемым напряжениям)

(по методу предельных состояний)

На срез рассчитывают сварные и заклепочные соединения, болты, шпонки и др.

3.3. Кручение стрежня круглого поперечного сечения.

При кручении вводят гипотезы:

1.Гипотеза Бернулли: в процессе закручивания сечения остаются плоскими и нормальными к оси бруса.

2.Расстояние между поперечными сечениями не изменяются, т.е.длина бруса остается постоянной. Поперечные сечения ведут себя как жесткие диски, поворачивающееся относительно друг друга на некоторый угол и не деформируясь в своей плоскости.

3.4. Связь касательных напряжений и крутящего момента.

В каждой точке площадки действуют касательные напряжения. Суммируя их получаем касательную силу Эта сила образует элементарный крутящий момент.

Тогда полный крутящий момент :

Подставим .Тогда:

Замечание!

Касательные напряжения в точках сечения перпендикулярные ее радиус-вектору.

Следствие:

3.5. Перемещения. Потенциальная энергия деформации.

3.6. Геометрические харак-ки при кручении.

Геометр-кие харак-стики: полярный момент инерции Jp и полярный момент сопротивленияWp.

Поляр-ый мом-т инерции круга и кольца. Подставим в выр-е вместо dA площадь пояска dA=pdpdφ и примем пределы интегр-ия, позвол-ие заметать всю площадь попер-го сеч-я. Для стержня сплош-го круг-го сеч. . Выч-в инт-ал, пол-ем: .

Если в ст-е им-тся цен-ая полость d0, то . Поляр-ый момент инерции для кольцевого сечения .

Полярный мом-т сопр-ия. Полярный момент сопрот-ия . Для сплошного сечения с диам-ом d (pmax = d/2) . Для кольцевого сечения с нар-ым диам-м d, внутренним – d0 , pmax = d/2 и поляр-ый мом-т сопр-ия .

Замечание. Для сложных сеч. Полярный мом-т инер-и Jp, можно выч-ть как сум. Моментов инерции отдельных частей сеч-я. Пол-ый мом-т сопр-ия Wp этим св-ом не обл-т и выч-ся по формуле: .

3.7. Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

Расчет на прочность. Различают три типа рас-в на проч-ть при кручении брусьев: 1)проверка напряжений(поверочный расчет). 2)подбор размеров сечения(проектный расчет). 3)определение грузоподъемности.

При проверке напряж-ий по зад-ым нагр-ке и размерам бруса опред-ся наиб-е возн-ие в опасном сеч-и касат-е напр-ия и сравн-ся с допускаем-ми. Если (1) , (где (τ)- допуск-е касат-е напр-ие) не вып-ся, то нужно изм-ть размеры сеч-я бруса или умень-ть дей-ую нагр-ку.

При проверке размеров сечения из (1) опр-ся Wp опас-го сеч., по к-му с пом-ю ф-лы выч-ся d кр-го бруса: ; .

При определении грузоподъемности по извест-му допуск-му напр-ию и поляр-му мом-ту сопр-ия опр-ся макс-ый крутящий момент .

Расчет на жесткость. В ряде случ-в отвеч-ий усл-ю проч-ти стержень (вал) не яв-ся дост-о жестким для того, чтобы обесп-ть надлеж-ю работу мех-ма. Большие углы закруч-ия вала особенно опасны при перед-е им переменного во времени момента, так как при этом воз-ют опас-е для его проч-ти крутильные колеб-ия.

Условие жесткости бруса при кручении: , где (θ) – допуск-ый относ-ый угол закруч-ия, прин-ый в пред-х от 0,15° до 2° на 1 м длины стержня.

3.8. Кручение стержней некруглого поперечного сечения.

Кручение бруса

прямоугольного сечения.

Геометр-ие харак-ки Wt

и Jt выч –ся по фор-ам:

Wt =αhb2; Jt= βhb3,

где h, b – высота и

ширина попер-го сеч.

α,β – безразм-е коэф-ты.

На рис. показ-а эпюра

касат-ых напр-ий для бруса

прям-го сеч., пол-ая числнно методами теории упр-ти. Наиб. напр-ия воз-ют по сер-ам больших сторон в точках А:

Напр-ия в т-ах В пол-им, умн-в макс-ые касат-ые напр-ия на попр-ый коэф-нт: . Коэф-ты α, β и η зависят только от отнош-я сторон h/b.

Кручение бруса эллиптического сечения. Геометр-ие харак-ки Wt и Jt для эллиптич-го сеч.:

Wt = πa2b/2; Jt = πa3b3/ (a2 +b2), где а, b – длины полуосей сечения.

Наиб-е напряж-я

дост-ся в точках А по

концам малой оси:

.

Напр-ия в точках В . Эпюры касат-х напр-ий показанных на рисунке.

4.1. Статические моменты и центр тяжести сечения.

Попер-е сеч. стержня – фигура площ-ю А на пл-ти. Фигуру разобъем на элем-е площ-ки dA, каж-я имеет корд-ты x и y. Тогда площадь сеч. : .

Элементарными статическими

Моментами площ-ки dA будут:

dSx = ydA; dSy = xdA. Просум-м

эти выр-ия элем-ых мом-в по

всей площ-и сеч. А. Пол-м стат

-ие мом-ты плоского сеч-я относ-о осей x, y:

. Разм-ть – м3.

Статические моменты сложных сеч-й.

Sx = Sx(1) +Sx(2)+ … + Sx(n), где n – кол-во простых фигур, сост-их сеч-е.

Изм-е стат-их мом-ов при || переносе осей коор-ат.

Новые корд-ты х1, у1 площадки

dA св-ы со сарыми x,y: x1 = x-b

y1 = y-a. Cтат-ие мом-ты в

новой сис-е корд-т:

.

Формулы преобр-я стат-х мом-в при || переносе осей коор-т: Sx1 = Sx – aA; Sy1 = Sy – bA, где a, b – рас-я м/у осями х и х1, у и у1 (с учетом знака).

Центр тяжести сечения. Оси, относ-но к-ых статич-ие мом-ты равны нулю, наз-ся центральными. Точка пересеч-ия центр-ых осей яв-ся центром тяжести попер-го сеч-я.

Эти фор-лы служат

для опр-ия коорд-т

центра тяжести сеч.

С.

4.2. Момент инерции сечения.

4.3.Изменение моментов инерции при параллельном

переносе осей координат.

.4. .Изменение моментов инерции при

повороте осей координат.

4.5.Главные оси и главные моменты инерции.

5.1 Внутренние усилия при изгибе

Изгиб — вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев (балок) или изменение кривизны осей кривых брусьев. Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Прямой изгиб возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, называется косым.

внутренние силовые факторы: продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М.

Дифференциальные зависимости при изгибе

q = –dQy/dz;

Qy = dMx/dz

Из этих уравнений следует

q= –d2Mx/ dz2

дифференциальные зависи-

мости Д. И. Журавского при изгибе.

Здесь ось z направлена вдоль центральной оси балки.

Правило знаков для поперечной силы

Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть элемент балки по ходу часовой стрелки. При построении эпюры поперечной силы положительные значения поперечной силы откладываются вверх от горизонтальной базовой линии, а отрицательные – вниз. Правило знаков для изгибающих моментов.

Изгибающий момент принимается положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, изгибает элемент балки так, что нижние волокна оказываются растянутыми, т.е. ось балки искривляется выпуклостью вниз.

5.2. Закон Гука при чистом изгибе,

σ = Еy / ρ

σ - нормальное напряжение

Е - модуль Юнга

y - расстояние от нейтральной линии до рассматриваемого сечения или прогиб

ρ - радиус кривизны вывод в след вопросе

следствие: нормальные напряжения при чистом изгибе в поперчном сечении стержня изменяются по линейному закону. Нейтральная линия является геометрич местом точек, в которых нормальные напряжения равны 0.

5.3. Нормальные напряжения при чистом изгибе.

При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба.

в поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия. Вопрос о распределении этих напряжений по поперечному сечению решается путем рассмотрения деформаций волокон балки.

4.6Геометрические характеристики простых фигур

5.4 Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе

5.5 напряжения при поперечном изгибе

Нормальные напряжения. Если сила Q постоянна по длине стержня, то перекосы всех сечений одинаковы по значению и направлению. Поэтому

Касательные напряжения

Ф-ла Журавского справедлива для прямоуг.узких

длинных сечений (для кот. h/d2)

5.6Распределение напряжений по прямоуг.

и двутавровому сечениям

5.7 Каксательные напряжение при изгибе тонокостенных стержней

5.8 рассчеты на прочность при изгибе

5.9 расчет балок с учетом развития пластических деформаций

5.11 определение перемещений по изгибе. Метод прямого интегрирования

5.10 Дифференциальное уравнение упругой литнии балки

5/.11. Метод начальных параметров

5.12. Балка на упругом основании

К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине на упругое основание, оказывающее в каждой точке на балку реакцию, пропорциональную у — прогибу балки в этой точке. Коэффициент пропорциональности обозначается буквой k.

5.13. Изгиб бруса большой кривизны. Закон Гука

Закон гука для бруса большой кривизны

5.14. Нормальные напряжения в кривом брусе

связь нормальных напряжений с изгибающим моментом

5.15. Радиус кривизны нейтрального слоя

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]