21. Смешанный метод (основная система, канонические уравнения, построение окончательных эпюр внутренних усилий и их проверка).

В одной части конструкции основ­ная система(ОС) смешанного метода образуется устранением связей, как в методе сил, в другой части - введением связей, как в мето­де перемещений. Соответственно, основными неизвестными яв­ляются реакции отброшенных связей, а также угловые и линей­ные перемещения узлов.

Рассмотрим статически неопределимую раму (рисунок 10.1, а), которая в левой части содержит мало лишних связей, но каждый ее узел может смещаться линейно и поворачиваться. В правой части рама имеет много связей, но обладает малой подвижностью узлов.

Подсчитаем степень статической и кинематической неопреде­лимости:

n_с = 3К - Ш = 3 * 3 - 1 = 8; n_к = n_у + n_л = 6 + 3 = 9.

ОС метода сил и метода перемещений показа­ны на рисунке 10.1, б, в. Они довольно сложные для расчета из- за большого количества неизвестных.

Если же левую часть рассчитывать методом сил, правую - ме­тодом перемещений, количество неизвестных будет значительно меньшим:

где -степень СН левой части рамы;

-степень кинематической неопределимости правой части.

Основная система смешанного метода показана на рисун­ке 10.1, д. Здесь в левой части отброшены две лишние связи и заменены силами X₁, X₂, в правой части введены две плавающие заделки и заданы углы их поворота Z₃, Z₄. Заметим, что неиз­вестные нумеруются последовательно: сначала неизвестные мето­да сил, затем - метода перемещений.

Канонические уравнения. Как и неизвестные, канони­ческие уравнения смешанного метода будут двух видов: уравне­ния метода сил и метода перемещений. Их количество определя­ется количеством неизвестных усилий и перемещений.

Например, для рамы на рисунке 10.1 система канонических уравнений имеет вид:

(10.1)

Здесь первое и второе уравнения составлены по методу сил, так как неизвестные Х₁, X₂ - силы, третье и четвертое - по мето­ду перемещений, так как Z₃, Z₄ - перемещения.

Во все уравнения входят оба вида основных неизвестных. При этом коэффициенты подразделяются на четыре типа:

δik- «перемещение от силы»: перемещение по направлению усилия Хi, вызванное единичным усилием, приложен­ным в направлении X_k;

δ'_ik - «перемещение от перемещения»: перемещение по на­правлению усилия Xi, вызванное единичным смещением связи k;

r_ik - «реакция от перемещения»: реакция связи i от единич­ного смещения связи k;

r'i_k - «реакция от силы»: реакция связи i, вызванная единич­ным усилием, приложенным в направлении X_k.

Коэффициенты δ, r в уравнениях (10.1) и свободные члены Δ, R вычисляются способами, изложенными при изучении методов сил и перемещений.

Реакции r' удобно находить, как и r, из равновесия вырезан­ных узлов или частей конструкции с введенными связями в соот­ветствующих состояниях, вызванных единичными силами.

Перемещения δ' можно определить из геометрических сообра­жений (рисунок 10.2). Однако их проще вычислять по теореме о взаимности единичных реакций и перемещений в стати­чески неопределимых системах (второй теореме Рэлея):

Построение окончательных эпюр внутренних усилий и их проверка. Решив систему канонических уравнений, находим усилия X и перемещения Z. Для рамы, изображенной на рисунке 10.1,

где M₁, M₂ - изгибающие моменты в основной системе смешан­ного метода_от единичных усилий, приложенных по направлени­ям X₁, X₂ ; Z₃, Z₄ - то же, от единичных перемещений 3-й и 4-й дополнительных связей; M_p - то же, от внешней нагрузки.

При расчете рам и балок поперечные силы Q обычно вычис­ляют по значениям изгибающих моментов M, а продольные силы N - по значениям поперечных сил.

Проверки построенных эпюр такие же, как и при расчетах методом сил: статическая и деформационная для эпюры изги­бающих моментов; проверка равновесия системы в целом для ус­тановления правильности эпюр поперечных и продольных сил.