7. Уравнение трех моментов

Вывод уравнения трех моментов. Положим, что балка имеет ступенчато переменное сечение с постоянным моментом инерции J_i в каждом i-м пролете.

Рассмотрим два смежных пролета выбранного варианта ос­новной системы, i-й и (i + 1)-й (рисунок 8.15, а). Запишем i-ое каноническое уравнение метода сил:

Очевидно, что моменты X1, X2, Xi_-2 и Xi+2,..., X_n не де­формируют рассматриваемые пролеты балки и, следовательно, не вызывают перемещений по направлению момента X_i . Поэтому коэффициенты . Уравнение принимает вид: (8.21)

При определении перемещений по методу Мора будем учиты­вать только изгибающие моменты, пренебрегая поперечными си­лами.

Перемножая эпюры по правилу для прямоли­нейных эпюр на участке постоянной жесткости, получаем:

Подставим в уравнение (8.21):

Умножая его на произвольное значение 6EJ₀, получим:

(8.23)

где - приведенная длина i-го пролета.

Каноническое уравнение метода сил, записанное в форме (8.23), называется уравнением трех моментов. Оно связывает три последовательных неизвестных опорных момента для двух смеж­ных пролетов с длинами l_i и l_i+₁. Смысл i-го уравнения: отсутст­вие взаимного угла поворота сечений балки на i-ой опоре.

Подчеркнем, что 6EJ₀ - произвольная величина. Однако для удобства в качестве J₀ принимают момент инерции одного из пролетов балки. Тогда приведенные и реальные длины пролетов имеют одинаковую размерность.

8. Формула для грузового перемещения.

Построим грузо­вую эпюру M_p (рисунок 8.15, д) и перемножим ее с эпюрой M_i (см. рисунок 8.15, в) по правилу Верещагина:

где - площадь эпюры M_p в i-м и (i + 1)-м пролетах; y_Ci - ордината эпюры M_i под центром тяжести С_i эпюры M_p в i-м пролете; y_Ci+₁ - то же, в (i + 1)-м пролете; EJ_i, EJ_i+₁ - жесткости балки в i-м и (i + 1)-м пролетах.

Рассматривая подобные треугольники эпюры M_i, получаем:

С учетом этого формула для грузового перемещения принима­ет вид:

где a, b - расстояния от центра тяжести эпюры M_p до левой и правой опор.

Особенности применения уравнений трех моментов.

Применение уравнения трех моментов зависит от условий на концах балки.

Шарнирные опоры на концах. В уравнении индекс i должен принимать значения 1, 2, ..., (m - 1), где m - номер по­следнего пролета. При этом количество уравнений достаточно для определения всех неизвестных моментов. В эти уравнения будут входить X₀ и X_m - моменты на крайних шарнирных опорах, которые равны нулю (рисунок 8.16, а).

Консоли на концах балки. Удобно отбросить консоли и пере­нести нагрузку на крайние опоры, заменив ее силами и момента­ми (рисунок 8.16, б). Затем составить уравнения трех моментов так, как для балки на шарнирных опорах. В отличие от преды­дущего случая, моменты X₀ и X_m не будут нулевыми. Направ­лять их следует так же, как и моменты на промежуточных опо­рах - чтобы были растянуты нижние волокна, а знак определять в соответствии с действием нагрузки на консолях.

Заделки на концах балки. Жесткую заделку необходимо за­менить тремя стержнями, скользящую - двумя (рисунок 8.16, в). В результате образуется два дополнительных пролета бесконечно малой длины, позволяющие составить два дополнительных урав­нения - 0-е и m-е, как для балки с крайними шарнирными опо­рами. В эти уравнения будут входить X_-1 и X_m+₁ - моменты на крайних шарнирных опорах, равные нулю.

Методика расчета неразрезной балки с помощью уравнений трех моментов имеет несомненное преимущество перед классиче­ским методом сил: чтобы определить коэффициенты канониче­ских уравнений, нет необходимости строить и перемножать еди­ничные эпюры моментов в основной системе.