Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТАН ЛЕТНИЙ ЧТОБ ЕГО.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
24.09.2019
Размер:
522.24 Кб
Скачать

14.Непрерывность,приращение,линейность функционала.

Опред:приращением ф-ала,отвечающим приращению δy аргумента y0(x) назыв-ся величина ΔJ=J[y0(x)+δy]-J[y0(x)].

Опред:ф-ал J[y(x)] определенный в Ck[a;b] назыв-ся непрерывным в y0(x) если где α некоторый параметр.

Пример: док-ть что определенный в С1[a;b] ф-ал непрерывный в точке y0(x)=x

Решение: пользуясь определением

Вычислим предел:

Значит по опред-ю ф-ал непрерывен.

Известно,что Ck[a;b] есть линейное пространство ф-ций,диффер-ых до порядка k по естеств.операциям сложения и умножения на число.

Опред:Ф-ал L[y(x)] опред-ый в пространстве Ck[a;b] называется линейным,если он удовлетвояет след.условиям:

1) L[cy(x)]=cL[y(x)], где cϵR 2) L[y1(x)+y2(x)]=L[y1(x)]+L[y2(x)]

11.Методы Эйлера и Рунге-Кутта для решения диффур.

Метод Эйлера

Пусть дан диффур с условиями y'=f(x;y) y(x0)=y0

Выбрав малый шаг h построим систему точек xi=x0+ih

Как известно произв-ю на малом отрезке [x0;x1] можн

аппроксимировать так: поэтому ур-е можн

заменить

y2=y1+hf(x1;y1)

……………….

yi+1=yi+hf(xi;yi),i=0,1,2… найдем ломаную,котор приближ-ся к нашей иском.ф-ции

!Сущ-ют модификации этого метода,например вычисляют промежуточн.знач-я в точке xi+1/2=xi+h/2 и находят значение в средней точке.

Метод Рунге-Кутта

Пусть дан диффур 1го пор-ка с начальн.усл-ми. y'=f(x;y) y(x0)=y0

Введем обознач-я xi=x0+ih где h-шаг разбиения(рисунок!), yi=y(xi).

Рассмотр.числа ai=hf(xi;yi)

bi=hf(xi+h/2;yi+ai/2)

ci=hf(xi+h/2;yi+bi/2)

di=hf(xi+h;yi+ci)

Тогда реккурентная формула для вычисл-я y: yi+1=yi+1/6(ai+2bi+2ci+di)

10.Интегрирование диффура с помощью рядов и послед.Приближения

Рассмотрим диффур с началь.усл-ями y'=f(x;y) y(x0)=y0

Если f(x;y) удовл-ет всем усл-ям о сущ-нии и единст-ти реш-я зад.Коши,тогда сущ. единств.реш-е y=y(x) диффура,удовл-щее начальному усл-ю,причем оно явл-ся аналитич-ким в точке x0 и след-но м.б. представлено в виде ряда Тейлора:

первый член ряда опред-ся непоср.из нач.усл-я y(x0)=y0

след.член наход-ся на основании диффура y'(x0)=f(x0;y0)

остальные члены нах-ся шаг за шагом путем дифф-я дифура исп.правила дифф-я неявно заданной сложной ф-ции

тоесть получ-ся

Пример:найти реш-е диффур y'=y/(x+y) с условиями y(1)=2 т.е. x0=1 y0=2

Метод последовательных приближений

Дано y'=f(x;y) с усл. y(x0)=y0, будем искть реш-е y=y(x) для x≥x0 т.е.на [x0;x]. Интегр-я правую и левую части дифура на [x0;x] получим и используя нач.условие получ (3) Для реш-я ур-я (3) прим-ся метод посл.приближ,заменяя в равенстве (3) неизв-ю ф-цию y данным знач-ем y0 получим 1ое приближ-е:

Далее подстав-яя в рав-о (3) вместо неизв.ф-ции y найденное знач-е y1 будем иметь второе приближение Все остальные по формуле

!Последов.приближ-я наход-ся при помощи интегрир-я по x.Может случиться так, что интеграл не выраж-ся в элементар.ф-циях,тогда инт-е осущ-ся численно.