14.Непрерывность,приращение,линейность функционала.

Опред:приращением ф-ала,отвечающим приращению δy аргумента y₀(x) назыв-ся величина ΔJ=J[y₀(x)+δy]-J[y₀(x)].

Опред:ф-ал J[y(x)] определенный в C_k[a;b] назыв-ся непрерывным в y₀(x) если где α некоторый параметр.

Пример: док-ть что определенный в С1[a;b] ф-ал непрерывный в точке y₀(x)=x

Решение: пользуясь определением

Вычислим предел:

Значит по опред-ю ф-ал непрерывен.

Известно,что Ck[a;b] есть линейное пространство ф-ций,диффер-ых до порядка k по естеств.операциям сложения и умножения на число.

Опред:Ф-ал L[y(x)] опред-ый в пространстве Ck[a;b] называется линейным,если он удовлетвояет след.условиям:

1) L[cy(x)]=cL[y(x)], где cϵR 2) L[y₁(x)+y₂(x)]=L[y₁(x)]+L[y₂(x)]

11.Методы Эйлера и Рунге-Кутта для решения диффур.

Метод Эйлера

Пусть дан диффур с условиями y'=f(x;y) y(x₀)=y₀

Выбрав малый шаг h построим систему точек x_i=x₀+ih

Как известно произв-ю на малом отрезке [x0;x1] можн

аппроксимировать так: поэтому ур-е можн

заменить

y₂=y₁+hf(x₁;y₁)

……………….

y_i+1=y_i+hf(x_i;y_i),i=0,1,2… найдем ломаную,котор приближ-ся к нашей иском.ф-ции

!Сущ-ют модификации этого метода,например вычисляют промежуточн.знач-я в точке x_i+1/2=x_i+h/2 и находят значение в средней точке.

Метод Рунге-Кутта

Пусть дан диффур 1го пор-ка с начальн.усл-ми. y'=f(x;y) y(x₀)=y₀

Введем обознач-я x_i=x₀+ih где h-шаг разбиения(рисунок!), y_i=y(x_i).

Рассмотр.числа a_i=hf(x_i;y_i)

b_i=hf(x_i+h/2;y_i+a_i/2)

c_i=hf(x_i+h/2;y_i+b_i/2)

d_i=hf(x_i+h;y_i+c_i)

Тогда реккурентная формула для вычисл-я y: y_i+1=y_i+1/6(a_i+2b_i+2c_i+d_i)

10.Интегрирование диффура с помощью рядов и послед.Приближения

Рассмотрим диффур с началь.усл-ями y'=f(x;y) y(x₀)=y₀

Если f(x;y) удовл-ет всем усл-ям о сущ-нии и единст-ти реш-я зад.Коши,тогда сущ. единств.реш-е y=y(x) диффура,удовл-щее начальному усл-ю,причем оно явл-ся аналитич-ким в точке x₀ и след-но м.б. представлено в виде ряда Тейлора:

первый член ряда опред-ся непоср.из нач.усл-я y(x₀)=y₀

след.член наход-ся на основании диффура y'(x₀)=f(x₀;y₀)

остальные члены нах-ся шаг за шагом путем дифф-я дифура исп.правила дифф-я неявно заданной сложной ф-ции

тоесть получ-ся

Пример:найти реш-е диффур y'=y/(x+y) с условиями y(1)=2 т.е. x₀=1 y₀=2

Метод последовательных приближений

Дано y'=f(x;y) с усл. y(x₀)=y_0, будем искть реш-е y=y(x) для x≥x₀ т.е.на [x₀;x]. Интегр-я правую и левую части дифура на [x₀;x] получим и используя нач.условие получ (3) Для реш-я ур-я (3) прим-ся метод посл.приближ,заменяя в равенстве (3) неизв-ю ф-цию y данным знач-ем y0 получим 1ое приближ-е:

Далее подстав-яя в рав-о (3) вместо неизв.ф-ции y найденное знач-е y1 будем иметь второе приближение Все остальные по формуле

!Последов.приближ-я наход-ся при помощи интегрир-я по x.Может случиться так, что интеграл не выраж-ся в элементар.ф-циях,тогда инт-е осущ-ся численно.