![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Билет № 1
- •1°. Пример
- •2°. Определения.
- •3°. Геометрический смысл ду.
- •4°. Задача Коши.
- •1°. Уравнение в полных дифференциалах.
- •2°. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •§ 4. Уравнения 1-го порядка, неразрешенные относительно производной.
- •3°. Связь нормальных систем с общими дифференциальными уравнениями (оду) n-го порядка.
- •5°. Нормальная линейная система (нлс).
- •1°. Линейная однородная система (лос).
- •2°. Фундаментальная система решений (фср).
- •Свойства уравнения :
- •4°. Формула Лиувилля-Остроградского (Формула Якоби).
- •4°. Линейные неоднородные уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •1°. Теорема о непрерывной зависимости решений от реальных условий.
- •Билет № 24
Билет № 1
1°. Пример
,
(
-
ускорение)
(если подобрать
)
,
(множество решений)
(положение груза
при
)
(положение груза
в начале колебаний)
2°. Определения.
Опред.:
Обыкновенным
дифференциальным уравнением
-ного
порядка называется уравнение
,
где
-
независимая переменная,
-
искомая функция от
,
-
заданная функция от
переменных.
Опред.:
Функция
называется решением дифференциального
уравнения на интервале
,
если при подстановке в это уравнение
она обращает его в тождество по
,
на интервале
.
,
-
дифференциальное уравнение 1-го порядка.
-
решение ДУ
интеграл
ДУ
Опред.: Интегральная кривая ДУ - график любого решения ДУ.
Опред.: Интегрирование в квадратурах - выражение решения дифференциального уравнения с помощью элементарных функций и интегралов от них.
,
(неявная функция,
решение ДУ)
Опред.: Интегральная кривая – полуокр. (верхняя или нижняя)
(общий интеграл
ДУ)
3°. Геометрический смысл ду.
(это ДУ, разрешенное
относительно производной)
-
определена в области
.
В каждой точке области мы знаем касательную к решению.
Опред.: Совокупность линий называют полем направлений, соответствующим дифференциальному уравнению.
С геометрической точки зрения нахождение решений ДУ- есть нахождение всех кривых, касательные в каждой точке к которым совпадают с соответствующими прямыми поля направлений.
4°. Задача Коши.
Опред.:
Задачей
Коши для уравнения
наз. задача нахождения решения
этого
уравнения, удовлетворяющего условию:
,
(н. у.).
Билет № 2
1°. Уравнение в полных дифференциалах.
Опред.:
Уравнением
в полных дифференциалах называется
уравнение вида
,
левая часть которого - полный дифференциал
от некоторой функции
Теорема:
Всякое решение уравнения в полных
дифференциалах удовлетворяет уравнению
для некоторого
.
Доказательство:
Пусть
-
решение,
-
решение
.
Теорема доказана.
Теорема:
Пусть функции
непрерывны в
.
Тогда для того, чтобы уравнение
было уравнением в полных дифференциалах,
необходимо и достаточно условие
.
Доказательство:
Необходимость.
Достаточность.
,
2°. Уравнения с разделяющимися переменными.
Опред.:
Уравнение
вида
,
где
-
непрерывна на
,
непрерывна
на
,
называется уравнением с разделяющимися
переменными.
|
|
6°. Интегрирующий множитель.
,
,
Если
является
уравнением в полных дифференциалах, то
называется
интегрирующим множителем.
Пример:
,
,
Билет № 3
3°. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Опред.:
Если функция
,
то уравнение называется линейным
однородным.
Лемма:
Доказательство:
.
.
.
-два частных
решения.
Метод вариации постоянных.
4°. Уравнение Бернулли.
,
где
,
Если
,
то нужно смотреть, не потеряно ли решение
.
5°. «Однородные» уравнения.
Опред.:
Дифференциальное
уравнение 1-го порядка называется
однородным, если его можно привести к
виду:
=>
=>
=>
Билет № 4
1°. Метрическое пространство.
Опред.:
Метрическое
пространство -
это множество
,
любой паре элементов
которого поставлено в соответствие
неотрицательное число
,
называемое расстоянием между ними и
удовлетворяющее следующим аксиомам:
1.
2.
3.
Пример:
Опред.:
называется пределом последовательности
,
если
при
Опред.:
Последовательность
называется
фундаментальной, если
Опред.: Метрическое пространство называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства.
Пример:
Теорема:
-
полное метрическое пространство
Доказательство:
-
фундаментальная последовательность
Фиксируем
-
числовая, причём справедливо неравенство
-
фундаментальная
,
-
сходится равномерно на
2°. Принцип сжатых отображений.
,
Опред.:
Оператор
называется
сжимающим, если
называется
неподвижной точкой оператора
,
если
.
Теорема:
Сжимающий оператор, отображающий полное метрическое пространство в себя, имеет единственную неподвижную точку.
Доказательство:
Докажем единственность.
Докажем существование.
фундаментальная
Билет №5
3°. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка.
Теорема.
Пусть
функция
непрерывна в прямоугольнике
,
причем
в
.
Тогда на интервале
,
где
,
существует и единственно решение
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее условию
.
Поставленная задача Коши эквивалентна решению интегрального уравнения.
Доказательство.
на
.
.
,
на
,
.
Проинтегрируем
это равенство на отрезке
:
.
Рассмотрим
произвольный отрезок
:
Рассмотрим
метрическое пространство M,
состоящее из непрерывных функций на
отрезке
и удовлетворяющих неравенству:
на
,M
M.
Рассмотрим
произвольную фундаментальную
последовательность
-
худ. изM.
,
M
Рассмотрим на
пространстве M
сжимающий
оператор
:
M
.
,
M
M.
,
M,
Элемент
является
функцией, удовлетворяющей интегральному
уравнению и следовательно исходной
задаче Коши.
-
непрерывна в
Билет № 6