- •Билет № 1
- •1°. Пример
- •2°. Определения.
- •3°. Геометрический смысл ду.
- •4°. Задача Коши.
- •1°. Уравнение в полных дифференциалах.
- •2°. Уравнения с разделяющимися переменными.
- •§ 4. Уравнения 1-го порядка, неразрешенные относительно производной.
- •3°. Связь нормальных систем с общими дифференциальными уравнениями (оду) n-го порядка.
- •5°. Нормальная линейная система (нлс).
- •1°. Линейная однородная система (лос).
- •2°. Фундаментальная система решений (фср).
- •Свойства уравнения :
- •4°. Формула Лиувилля-Остроградского (Формула Якоби).
- •4°. Линейные неоднородные уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •1°. Теорема о непрерывной зависимости решений от реальных условий.
- •Билет № 24
Билет № 24
§ 10. Краевая задача для ЛДУ 2-го порядка.
1°.Постановказадачи.
Опред.: Если , то краевые условия называются однородными.
Опред.: Если удовлетворяет краевым условиям, тоудовлетворяет однородным краевым условиям.
Пример 1: |
Пример 2: |
Билет № 25
2°. Задача Штурма-Лиувилля.
- непр.дифф.
, - непрерывны на,,на,.
Требуется найти все значения (собственное значение) при которых существует собственная функция, удовлетворяющая уравнению и краевым условиям.
Свойства собственного значения и собственной функции.
1. Существует монотонной возрастающая последовательность собственных значений , причемсоответствует собственная функция, обращающаяся в ноль ровнораз на.
2. Если , то все собственные значения положительны, за исключением случая,,,.
3. Собственные функции на отрезке образуют ортонормированную систему с весом, то есть
4. Всякая функция , удовлетворяющая краевым условиям и имеющая непрерывную 1-ю производную и кусочно-непрерывную 2-ю производную, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям:
, где .
Пример:
Характеристические корни: .
1). ,
.
2). .
3).
; ,;
(, , )
,
- орт. на .
Билет № 26
§ 1. Классификация УРЧП.
1°. Определение.
Опред.: УРЧП – это у-е , где
- независимые переменные, .
Примеры у-ий в матфизике:
,
.
2°. Линейные уравнения 2-го порядка от двух независимых переменных.
.
Существуют следующие типы таких уравнений:
Гиперболические:
Параболические:
Эллиптические:
3°. Уравнение характеристик.
,
- эти семейства кривых называются характеристическими кривыми (или характеристиками).
Если сделать замену переменных ,, и подставить ее в исходное уравнение, оно существенно упростится.
.
Билет № 27
4°. Приведение к каноническому виду линейных уравнений 2-го порядка от двух независимых переменных.
,
Гиперболический тип.
.
Можно считать, что (так как если, то в исходном уравнении меняются местами переменныеи. Если же, то вообще решать нечего).
Следовательно, ,.
.
Билет № 28
4°. Приведение к каноническому виду линейных уравнений 2-го порядка от двух независимых переменных.
,
Параболический тип.
Можно считать, что ,.
,
Эллиптический тип.
Можно считать, что (так как если, то, чего быть не может).
,
Следовательно, .
.
Билет №29
§ 2. Колебания бесконечной струны.
1°. Постановка задачи.
Опред.: Струна бесконечная - то есть колебания на одном конце струны очень нескоро дойдут до другого конца.
Начальные условия:
Нужно найти положение струны в заданный момент времени в полуплоскости.
2°. Формула Даламбера.
3°. Физический смысл.
бегущая волна
Билет № 30
§ 3. Начально-краевая задача для уравнения 2-го порядка от двух независимых переменных.
1°. Постановка задачи.
Краевые условия:
2°. Метод Фурье.
Если бы , то,,
, .
Если функция непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную, то тригонометрический ряд длясходится абсолютно и равномерно к.
Докажем, что производные исуществуют.
- абсолютно и равномерно сходятся, так как:
и достаточно больших .
Билет № 31
§ 4. Задача Дирихле для уравнения Лапласа.
1°. Постановка задачи для трехмерного тела.
2°. Задача Дирихле для круга.
,
,
, ,
,
Подставляем во второе уравнение , получаем:
Получилось уравнение Эйлера.
,
,
Если ,,,,,,
проинтегрировав, получаем (в нуле не определен, поэтому по смыслу задачи мы должны взять).
Получим: ,,
Любая функция этого набора удовлетворяет уравнению Лапласа. Рассматривая сумму этих функций, то есть ряд:
,
Должно быть справедливо для всех .
, ,
Билет № 32
3°. Интегральная функция Пуассона.
(ядро Пуассона)
{представим как сумму геометрической прогрессии}
.
.
.
4°. Формула Пуассона для шара.
.
Билет № 33
§ 5. Колебания закрепленной струны.
1°. Постановка задачи.
Уравнение колебаний струны:
Граничные условия: |
Начальные условия: |
2°. Метод Фурье.
Задача Лиувилля:
,
Билет № 34
§ 6. Вывод уравнений математической физики.
1°. Уравнение теплопроводности.
Количество тепла, проходящее через левую грань куба справа налево за интервал времени (t,∆t+t), равно,α– коэффициент теплопроводности. , Общее количество тепла, входящее в Q, за интервал времени(t,t+∆t) , , |
2°. Уравнения малых колебаний струны.
, = (x+∆x,t) |
(x+∆x,t)-(x,t))=T(x,t)∆x
𝜌∆x(x,t)=T(x,t)∆x